Algebra Boolean. algebra logik. Unsur-unsur logik matematik

Dalam dunia hari ini, kita semakin menggunakan pelbagai mesin dan alat. Dan bukan hanya apabila ia adalah perlu untuk memohon kekuatan literal luarbiasa: menggerakkan beban untuk meningkatkan kepada ketinggian, menggali parit panjang dan mendalam, dan lain-lain Cars hari ini mengumpul robot, makanan dimasak multivarki dan pengiraan aritmetik asas menghasilkan kalkulator ... Lebih dan lebih kerap kita mendengar ungkapan "algebra Boolean". Mungkin sudah tiba masanya untuk memahami peranan manusia dalam penciptaan robot dan mesin keupayaan untuk menyelesaikan bukan sahaja matematik, tetapi juga masalah logik.

logik

Dalam logik Greek - satu sistem yang diperintahkan pemikiran yang mencipta hubungan antara syarat-syarat yang diberikan dan membolehkan anda untuk membuat kesimpulan berdasarkan andaian dan anggaran. Selalunya, kami meminta satu sama lain: "Ia adalah logik untuk" balasan mengesahkan andaian kami atau mengkritik kereta api pemikiran. Tetapi proses ini tidak berhenti di situ: kami terus bercakap.

Kadang-kadang jumlah syarat (input) adalah begitu besar, dan hubungan antara mereka begitu mengelirukan dan kompleks bahawa otak manusia tidak dapat "mencerna" semua sekali gus. Anda mungkin memerlukan lebih daripada satu bulan (minggu, tahun) untuk memahami apa yang berlaku. Tetapi kehidupan moden tidak memberi kita selang masa untuk membuat keputusan. Dan kita mengambil jalan keluar dengan bantuan komputer. Dan ia adalah di sini bahawa terdapat algebra dan logik, undang-undang dan sifat-sifatnya. Selepas memuat turun semua data asal, kami membenarkan komputer untuk mengenali semua hubungan, untuk menghapuskan percanggahan dan untuk mencari penyelesaian yang memuaskan.

Matematik dan logik

Terkenal Gotfrid Vilgelm Leybnits menggubal konsep "logik matematik", yang tugas adalah mudah difahami hanya bulatan kecil ulama. Yang menarik adalah arah yang tidak menyebabkan, dan ke tengah-tengah abad XIX logik matematik dikenali dengan sedikit orang.

Kepentingan yang besar dalam komuniti saintifik telah menyebabkan pertikaian di mana orang Inggeris Dzhordzh Bul menyatakan hasratnya untuk menubuhkan cawangan matematik, tidak mempunyai sama sekali tidak ada kegunaan praktikal. Seperti yang kita tahu dari sejarah, pada masa ini aktif membangunkan pengeluaran perindustrian, kami membangunkan semua jenis bantuan Mesin, t. E. Semua penemuan saintifik mempunyai orientasi yang praktikal.

Memandang ke hadapan, kita katakan bahawa algebra Boolean - yang paling banyak digunakan di dunia hari ini sebahagian daripada matematik. Jadi hujah anda Buhl hilang.

Dzhordzh Bul

Keperibadian penulis memerlukan perhatian khas. Walaupun diberi hakikat bahawa pada orang yang lalu membesar di hadapan kita, masih perlu ditegaskan bahawa dalam 16 tahun John. Buhl mengajar di sekolah kampung, dan 20 tahun membuka sekolah sendiri di Lincoln. Ahli matematik sempurna menguasai lima bahasa asing, dan dalam masa lapang beliau, sedang membaca karya-karya Newton dan Lagrange. Dan semua ini - pada anak pekerja biasa ini!

Pada tahun 1839, Buhl menghantar kertas kerja saintifik pertama dalam Cambridge Mathematical Journal. Saintis bertukar 24 tahun. kerja Boole adalah ahli begitu berminat Royal Society, pada tahun 1844 beliau menerima anugerah kerana sumbangan beliau kepada pembangunan analisis matematik. Beberapa kertas kerja yang diterbitkan di mana unsur-unsur logik matematik, matematik dibenarkan muda untuk mengambil jawatan profesor di Kolej Cork County telah diterangkan. Ingat bahawa pada pendidikan yang Boole tidak.

idea

Pada dasarnya, algebra Boolean adalah sangat mudah. Terdapat kenyataan (logik ungkapan) itu, dari sudut pandangan matematik, hanya boleh ditakrifkan dalam dua perkataan: "benar" atau "palsu". Sebagai contoh, pokok-pokok pada musim bunga mekar - kebenaran, pada musim panas ia snows - satu pembohongan. Keindahan matematik adalah bahawa ia tidak benar-benar diperlukan untuk menggunakan hanya nombor. Untuk pertimbangan algebra agak patut mana-mana penyata dengan makna yang unik.

Oleh itu, algebra logik boleh digunakan secara literal mana-mana: dalam penjadualan dan menulis arahan, analisis maklumat yang bercanggah mengenai kejadian-kejadian dan penentuan urutan tindakan. Perkara yang paling penting - untuk menyedari bahawa ia tidak kira bagaimana kita menentukan kebenaran atau kepalsuan pernyataan. Dari ini "bagaimana" dan "mengapa" anda perlu untuk diabaikan. Apa yang penting ialah hanya satu kenyataan fakta: yang benar adalah satu pembohongan.

Sudah tentu, pengaturcaraan fungsi yang paling penting dalam algebra logik yang dirakam dengan tanda-tanda dan simbol sesuai. Dan belajar mereka - ia bermakna untuk belajar bahasa asing yang baru. Tiada apa yang mustahil.

konsep asas dan definisi

Tanpa pergi ke kedalaman, kita berurusan dengan istilah. Jadi, algebra Boolean mengandaikan:

• pernyataan;
• operasi logik;
• fungsi dan undang-undang.

Penyata - apa-apa ungkapan afirmatif yang boleh ditafsirkan dua dihargai. Mereka ditulis sebagai nombor (5> 3) atau digubal perkataan yang biasa (gajah - mamalia terbesar). Dalam kes ini, frasa "leher zirafah tidak" juga mempunyai hak untuk wujud, hanya algebra Boolean mentakrifkannya sebagai "satu pembohongan."

Semua kenyataan harus jelas, tetapi mereka boleh menjadi asas atau kompaun. penggunaan baru-baru ini bundle logik. E. Di perkarangan penyata algebra pertimbangan yang dibentuk oleh penambahan operasi logik asas.

operasi algebra Boolean

Kita sudah ingat bahawa operasi dalam algebra penghakiman - logik. Sama seperti algebra nombor menggunakan operasi aritmetik untuk menambah, menolak, atau membandingkan nombor, unsur-unsur logik matematik membolehkan untuk membuat kenyataan yang kompleks, untuk menafikan atau untuk mengira keputusan akhir.

operasi logik untuk perasmian dan kesederhanaan dinyatakan oleh formula, kita kenali dalam aritmetik. Sifat-sifat persamaan algebra Boolean membuat ia mungkin untuk merakam dan mengira yang tidak diketahui. operasi logik biasanya direkodkan oleh jadual kebenaran. unsur-unsur yang menentukan tiang dan operasi pengkomputeran yang dilakukan ke atas mereka, dan baris menunjukkan hasil pengiraan.

logik asas tindakan

Yang paling biasa dalam operasi algebra Boolean adalah penafian (TIDAK), dan logik AND dan OR. Jadi ia adalah mungkin untuk menggambarkan hampir semua langkah-langkah dalam pertimbangan algebra. Kami mengkaji secara terperinci setiap tiga operasi.

Penafian (tidak) digunakan untuk hanya satu elemen (operan). Oleh itu, operasi ini dipanggil penafian unari. Untuk merakam konsep "tidak A" menggunakan simbol seperti: ¬A, atau A !. Dalam bentuk jadual ia kelihatan seperti ini:

Fungsi penafian tipikal seperti kenyataan: jika A adalah benar, maka A - adalah palsu. Sebagai contoh, bulan berputar mengelilingi Bumi - kebenaran; Bumi berputar sekitar bulan - satu pembohongan.

pendaraban logik dan tambahan

Logik AND operasi dipanggil sempena a. Apa maknanya? Pertama, ia boleh digunakan untuk dua operan, iaitu, I - .. operasi binari. Kedua, ia adalah hanya dalam hal kebenaran kedua-dua operan (kedua-dua A dan B) adalah benar dan ungkapan itu sendiri. peribahasa, "Kesabaran dan sedikit usaha" membayangkan bahawa hanya dua faktor boleh membantu seseorang menghadapi kesukaran.

simbol digunakan untuk rakaman: A∧B, A⋅B atau A && B.

Sempena adalah sama dengan pendaraban dalam aritmetik. Kadang-kadang dan berkata - pendaraban logik. Jika anda darabkan unsur-unsur baris jadual, kita akan mendapat hasil yang sama dengan pemikiran logik.

Pemisahan adalah logik OR operasi. Ia adalah TRUE jika sekurang-kurangnya salah satu kenyataan adalah benar (sama ada A atau B). Ia ditulis seperti ini: A∨B, A + B atau A || B. jadual kebenaran untuk operasi ini ialah:

Pemisahan selain aritmetik sama. operasi selain logik hanya mempunyai satu sekatan: 1 + 1 = 1. Tetapi kita ingat bahawa dalam format digital adalah terhad kepada logik matematik 0 dan 1 (mana 1 - kebenaran, 0 - palsu). Sebagai contoh, kenyataan "dalam muzium, anda boleh melihat karya atau mencari sebuah syarikat yang baik" bermaksud apa yang anda boleh melihat karya-karya seni, dan ia adalah mungkin untuk memenuhi orang yang menarik. Pada masa yang sama, tidak menolak kemungkinan memenuhi serentak kedua-dua acara.

Fungsi dan undang-undang

Jadi, kita sudah tahu apa operasi logik menggunakan algebra Boolean. Fungsi menggambarkan semua sifat-sifat unsur-unsur logik matematik, dan membolehkan kita untuk memudahkan penyata sebatian kompleks. Yang jelas dan mudah seolah-olah harta penolakan operasi derivatif. Oleh derivatif difahami XOR, implikasi dan kesetaraan. Seperti yang kita telah membaca hanya dengan operasi asas, dan kemudian hotel ini juga hanya menganggap mereka.

Kesekutuan bermakna bahawa dalam kenyataan-kenyataan seperti "kedua-dua A dan B, dan B 'penyenaraian urutan operan tidak mengapa. formula ini ditulis seperti berikut:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Seperti yang anda lihat, ini tidak unik kepada konjungsi tetapi Pemisahan a.

Commutativity berhujah bahawa hasil konjungsi atau Pemisahan tidak bergantung kepada mana item dianggap pada peringkat awal:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity membolehkan mendedahkan kurungan dalam ungkapan logik kompleks. Kaedah-kaedah yang sama dengan kurungan pembukaan di pendaraban dan tambahan dalam algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

sifat-sifat unit dan calar, yang boleh menjadi salah satu daripada operan adalah juga sama dengan pendaraban algebra dengan sifar atau satu, dan penambahan unit yang:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency memberitahu kita bahawa jika agak dua operan sama hasil daripada operasi adalah sama, anda boleh "membuang" lebihan operan merumitkan penaakulan. Dan bersama dan Pemisahan operasi adalah idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Perolehan juga membolehkan kita untuk memudahkan persamaan. Penyerapan menyatakan bahawa apabila ungkapan itu digunakan untuk satu operan, satu lagi operasi dengan unsur yang sama operan hasilnya adalah menyerap operasi.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

urutan operasi

Urutan operasi adalah amat penting. Sebenarnya, bagi algebra, terdapat fungsi keutamaan yang menggunakan algebra Boolean. Formula boleh dipermudahkan hanya tertakluk kepada maksud operasi. Kedudukan daripada yang paling penting untuk diabaikan, kita mendapatkan urutan berikut:

1. Denial.

2. Sempena.

3. Pemisahan, XOR.

4. Implikasinya, kesetaraan.

Seperti yang anda lihat, hanya penafian konjungsi dan tidak mempunyai keutamaan yang sama. A keutamaan Pemisahan dan XOR adalah sama, serta keutamaan implikasi dan kesetaraan.

Fungsi implikasi dan kesetaraan

Seperti yang kita katakan, sebagai tambahan kepada operasi logik asas, logik matematik dan teori algoritma menggunakan derivatif. Ia adalah yang paling sering implikasi dan kesetaraan.

Implikasi atau akibat logik - kenyataan ini, di mana satu tindakan adalah suatu keadaan, dan yang lain - hasil daripada pelaksanaannya. Dalam erti kata lain, cadangan ini dengan alasan "jika ... maka". "Selepas makan malam datang perhitungan." E. Untuk memandu diperketatkan di atas bukit eretan. Jika tidak ada keinginan untuk bergerak turun dari gunung itu, dan kemudian seret eretan tidak perlu. Tertulis demikian: A → B atau A⇒B.

Kesetaraan menunjukkan bahawa kesan bersih berlaku hanya apabila kedua-dua operan adalah benar. Sebagai contoh, malam memberi laluan kepada hari kemudian (dan hanya ketika itu), apabila matahari terbit di kaki langit. Dalam bahasa logik matematik kenyataan ini ditulis sebagai A≡B, A⇔B, A == B.

undang-undang lain algebra Boolean

Algebra penghakiman membangun, dan ramai saintis berminat untuk menggubal undang-undang baru. Yang paling terkenal adalah dianggap postulat ahli matematik Scotland O. De Morgan. Beliau mendapati dan memberikan definisi harta tersebut sebagai penafian dekat, penambahan dan negatif double.

Tutup penafian mencadangkan bahawa sebelum kurungan yang tidak dapat dinafikan: tidak (A atau B) = Tidak A atau B. TIDAK

Apabila operan ditolak, tanpa mengira nilainya, kata tentang samping itu:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Dan akhirnya, penafian berganda sendiri pampasan. ie sebelum sama ada penafian operan hilang atau kekal hanya satu.

Bagaimana untuk menyelesaikan ujian

Logik membayangkan persamaan pemudahan telah ditetapkan. Sama seperti dalam algebra Lie, ia adalah perlu untuk maksima memudahkan keadaan pertama (untuk menghilangkan operasi input rumit, dan dengan mereka), kemudian mula mencari jawapan yang betul.

Apa yang perlu dilakukan untuk memudahkan? Menukar semua derivatif dalam operasi yang mudah. Kemudian mendedahkan semua kurungan (atau sebaliknya, membuat kurungan untuk mengurangkan elemen ini). Langkah seterusnya adalah untuk menggunakan ciri-ciri algebra Boolean dalam amalan (sifat penyerapan sifar dan satu, dan t.).

Akhirnya, persamaan harus terdiri daripada bilangan minimum yang tidak diketahui, digabungkan dengan operasi yang mudah. Cara yang paling mudah untuk mencari penyelesaian, jika anda membuat sejumlah besar negatif dekat. Maka jawapannya akan muncul seolah-olah dengan sendirinya.