Polyhedra. Jenis polyhedra dan sifatnya

Polyhedra bukan sahaja menduduki tempat yang terkenal dalam geometri, tetapi juga berlaku dalam kehidupan seharian setiap orang. Selain itu, objek-objek yang dihasilkan secara buatan dalam bentuk pelbagai poligon, bermula dengan kotak padanan dan berakhir dengan unsur-unsur seni bina, semulajadi terdapat juga kristal dalam bentuk kubus (garam), prisma (kristal), piramid (scheelite), octahedra (berlian) dan t E.

Konsep polyhedron, jenis polyhedra dalam geometri

Geometri sebagai sains mengandungi seksyen stereometri yang mengkaji ciri-ciri dan sifat-sifat angka tiga dimensi . Badan-badan geometri , yang sisinya dalam ruang tiga dimensi dibentuk oleh pesawat-pesawat yang dibatasi (muka), dipanggil "polyhedra." Jenis nombor polyhedra lebih daripada satu perwakilan sedozen, berbeza dengan bilangan dan bentuk wajah.

Walau bagaimanapun, semua polyhedra mempunyai ciri-ciri biasa:

1. Kesemuanya mempunyai 3 komponen integral: muka (permukaan poligon), puncak (sudut yang terbentuk di persimpangan muka), tepi (sebelah angka atau segmen terbentuk di persimpangan dua muka).
2. Setiap pinggir poligon bergabung dengan dua, dan hanya dua muka yang bersebelahan antara satu sama lain.
3. Convexity bermaksud bahawa badan itu sepenuhnya terletak hanya pada satu sisi pesawat di mana salah satu muka terletak. Peraturan ini boleh digunakan untuk semua wajah polyhedron. Angka geometri sedemikian di stereometri dipanggil convex polyhedra. Pengecualian adalah polyhedra bintang, yang merupakan derivatif badan-badan geometri biasa polihedral.

Polyhedra boleh dibahagikan kepada:

1. Jenis-jenis polihadrat cembung yang terdiri daripada kelas-kelas berikut: biasa atau klasik (prisma, piramid, parallelepiped), biasa (juga dikenali sebagai badan Platonik), separa biasa (nama kedua - Badan Archimedean).
2. Nonconvex polyhedra (stellate).

Prisma dan sifatnya

Stereometri sebagai seksyen kajian geometri sifat-sifat angka tiga dimensi, jenis polyhedra (prisma dalam bilangan mereka). Prisma adalah badan geometrik yang semestinya mempunyai dua muka yang sama sekali serupa (juga dikenali sebagai pangkalan) yang terletak di dalam pesawat selari, dan bilangan n sisi kehadiran dalam bentuk paralelogram. Sebaliknya, prisma juga mempunyai beberapa jenis, termasuk jenis polyhedra seperti:

1. Parallelepiped - dibentuk jika terdapat suatu rentetan di pangkalan - poligon dengan 2 pasang sudut bersamaan yang sama dan dua pasang sisi bertentangan kongruen.
2. Prisma lurus mempunyai tepi serenjang ke pangkalan.
3. Prisma cenderung dicirikan oleh kehadiran sudut tidak langsung (selain 90) antara muka dan pangkalan.
4. Prisma yang betul dicirikan oleh asas dalam bentuk poligon biasa dengan muka sisi yang sama.

Sifat dasar prisma:

• Pangkalan kongruen.
• Semua tepi prisma adalah sama dan sejajar antara satu sama lain.
• Semua muka sisi mempunyai bentuk sejajar-jajaran.

Piramid

Piramid adalah badan geometri yang terdiri daripada satu pangkalan dan bilangan nikel kehadiran segitiga bergabung pada satu titik - puncak. Perlu diingatkan bahawa jika sisi muka piramid diwakili oleh segitiga, maka di dasarnya boleh ada poligon segitiga, quadrangle, dan pentagon, dan sebagainya infinitum iklan. Nama piramid akan sesuai dengan poligon di bahagian bawah. Sebagai contoh, jika ada segitiga di bahagian bawah piramid, ia adalah piramid segi tiga, segi empat segi empat segiempat, dan sebagainya.

Piramid adalah polyhedra seperti kon. Jenis-jenis polyhedra kumpulan ini, selain dari di atas, juga termasuk wakil-wakil berikut:

1. Piramid biasa mempunyai poligon tetap di pangkalan , dan ketinggiannya diproyeksikan ke pusat bulatan yang tertulis di pangkalan atau diterangkan di sekelilingnya.
2. Piramid segi empat tepat dibentuk apabila salah satu pinggir sisi berpotongan dengan pangkalan pada sudut kanan. Dalam kes ini, kelebihan ini juga dipanggil ketinggian piramid.

Sifat piramid:

• Jika semua pinggir tepi piramid adalah kongruen (ketinggian yang sama), maka mereka semua bersilang dengan pangkalan pada satu sudut, dan di sekitar pangkalan anda boleh menarik bulatan dengan pusat yang bertepatan dengan unjuran puncak piramid.
• Sekiranya terdapat poligon biasa di bahagian bawah piramid, maka semua tepi sisi adalah kongruen, dan wajahnya adalah segitiga isosceles.

Polisron yang betul: jenis dan sifat polyhedra

Dalam stereometri, tempat yang istimewa diduduki oleh badan-badan geometrik dengan sisi yang sama rata, pada titik-titik di mana bilangan tepi yang sama disambungkan. Badan-badan ini dipanggil badan Platonik, atau polyhedra biasa. Jenis polyhedra dengan sifat-sifat ini hanya mempunyai lima angka:

1. Tetrahedron.
2. Hexahedron.
3. Octahedron.
4. Dodecahedron itu.
5. Icosahedron.

Dengan nama mereka, polhedra yang betul adalah disebabkan oleh ahli falsafah Yunani Plato, yang menggambarkan badan-badan geometri ini dalam karya-karyanya dan menghubungkan mereka dengan unsur-unsur semula jadi: bumi, air, api, udara. Angka kelima diberikan persamaan dengan struktur alam semesta. Pada pandangannya, atom-atom unsur-unsur semula jadi menyerupai bentuk-bentuk polyhedra biasa. Oleh kerana harta yang paling menarik - simetri, badan-badan geometri ini sangat menarik bukan sahaja untuk ahli matematik dan falsafah purba, tetapi juga untuk arkitek, seniman dan pemahat sepanjang masa. Kehadiran hanya 5 jenis polyhedra dengan simetri mutlak dianggap sebagai asas mencari, mereka juga diberikan hubungan dengan permulaan ilahi.

Hexahedron dan sifatnya

Dalam bentuk segi enam, pengganti Plato menganggap persamaan dengan struktur atom bumi. Sudah tentu, pada masa ini hipotesis ini benar-benar disangkal, yang bagaimanapun tidak menghalang angka-angka dari menarik minda tokoh-tokoh terkenal dalam estetika mereka.

Dalam geometri, hexahedron, juga sebuah kiub, dianggap sebagai satu kes tertentu parallelepiped, yang pada gilirannya adalah sejenis prisma. Oleh itu, sifat-sifat kubus berkaitan dengan sifat-sifat prisma dengan satu-satunya perbezaan bahawa semua muka dan sudut kiub sama dengan satu sama lain. Ini menunjukkan sifat berikut:

1. Semua tepi kiub adalah kongruen dan terletak pada pesawat sejajar dengan satu sama lain.
2. Semua wajah adalah segi empat kongruen (terdapat 6 dalam kiub), mana-mana yang boleh diambil sebagai asas.
3. Semua sudut interfacial adalah sama dengan 90.
4. Dari setiap puncak terdapat bilangan pinggiran yang sama, iaitu 3.
5. Kubus ini mempunyai 9 paksi simetri, yang semuanya berpotongan pada titik persimpangan himpilan heksahedron, yang disebut pusat simetri.

Tetrahedron

Tetrahedron adalah tetrahedron dengan muka yang sama dalam bentuk segitiga, masing-masing dengan simpulnya adalah titik hubungan tiga muka.

Sifat-sifat tetrahedron biasa:

1. Semua wajah tetrahedron adalah segitiga sama sisi, yang mana semua muka tetrahedron adalah kongruen.
2. Oleh kerana asas diwakili oleh angka geometrik biasa, iaitu, ia mempunyai sisi yang sama, maka wajah tetrahedron bertumpu pada sudut yang sama, iaitu, semua sudut sama.
3. Jumlah sudut planar di setiap titik ialah 180, kerana semua sudut sama, maka sudut tetrahedron biasa ialah 60.
4. Setiap simpang diproyeksikan ke titik persilangan ketinggian muka (orthocenter) yang bertentangan.

Octahedron dan hartanahnya

Menggambarkan jenis polieter biasa, seseorang tidak boleh gagal untuk memerhatikan objek seperti octahedron yang dapat dilihat secara visual dalam bentuk piramid biasa dua segiempat yang tersangkut bersama oleh pangkalan.

Sifat octahedron:

1. Nama badan geometri yang paling banyak memberitahu kami bilangan wajahnya. Oktagon terdiri daripada 8 segitiga sama sisi sama, di setiap titik di mana terdapat bilangan muka yang sama, iaitu 4.
2. Oleh kerana semua wajah octahedron adalah sama, sudut sudut sudutnya, masing-masing sama dengan 60, adalah sama, dan jumlah sudut planar bagi mana-mana simpang adalah, oleh itu, 240.

Dodecahedron itu

Sekiranya kita membayangkan bahawa semua muka badan geometri adalah pentagon biasa, kita mendapat dodecahedron - angka 12 poligon.

Sifat-sifat dodecahedron:

1. Setiap puncak memotong tiga muka.
2. Semua wajah adalah sama dan mempunyai panjang tepi yang sama, serta kawasan yang sama.
3. Dodecahedron mempunyai 15 paksi dan pesawat simetri, dan mana-mana daripada mereka melewati puncak muka dan tengah tepi yang bertentangan.

Icosahedron

Tidak kurang menarik daripada dodecahedron, icosahedron adalah badan geometrik yang tebal dengan 20 muka yang sama. Di antara sifat-sifat dentagon biasa, perkara berikut dapat diperhatikan:

1. Semua wajah icosahedron adalah segitiga sama.
2. Setiap puncak polieter menumpu kepada lima muka, dan jumlah sudut puncak bersebelahan ialah 300.
3. The icosahedron mempunyai, seperti dodecahedron, 15 paksi dan pesawat simetri melalui pusat-pusat muka yang bertentangan.

Poligon separa biasa

Sebagai tambahan kepada pepejal Platonik, kumpulan polyhedra cembung juga termasuk badan Archimedean, yang dipotong secara polyhedra biasa. Jenis polyhedra kumpulan ini mempunyai ciri-ciri berikut:

1. Badan geometri mempunyai pasangan yang sama dengan pasangan beberapa jenis, contohnya, tetrahedron dipenggal mempunyai 8 muka serta tetrahedron tetap, tetapi dalam kes badan Archimedean 4 muka akan segi tiga dan 4 - heksagon.
2. Semua sudut satu puncak adalah kongruen.

Polyhedra Bintang

Wakil-wakil badan bukan geometri yang tidak wujud adalah polyhedra bintang yang wajahnya saling bersilang. Mereka boleh dibentuk oleh perpaduan dua badan tiga dimensi yang biasa atau sebagai akibat dari kesinambungan wajah mereka.

Oleh itu, polyhedra bintang seperti yang diketahui: octahedron berbentuk bintang, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedral, icosododecahedron.