Apa yang penting, dan apakah maksud fizikalnya

Kemunculan konsep integral adalah disebabkan oleh keperluan untuk mencari fungsi primitif dengan derivatifnya, serta menentukan saiz kerja, kawasan angka kompleks, jarak perjalanan, pada parameter yang digariskan oleh lengkung yang diterangkan oleh formula nonlinear.

Dari kursus Dan ahli fizik tahu bahawa kerja itu adalah sama dengan hasil daya dari jarak jauh. Sekiranya semua gerakan berlaku pada kelajuan yang berterusan atau jarak yang diatasi dengan penggunaan daya yang sama, maka semuanya jelas, anda hanya membiaknya. Apakah integriti yang berterusan? Ini adalah fungsi linier dari bentuk y = kx + c.

Tetapi kekuatan boleh berubah sepanjang perjalanan kerja, dan dalam beberapa jenis pergantungan semulajadi. Keadaan yang sama timbul dengan pengiraan jarak yang dilalui jika kelajuannya tidak tetap.

Oleh itu, adalah jelas apa yang penting. Menentukannya sebagai jumlah produk nilai-nilai fungsi dengan peningkatan infinitesimal argumen sepenuhnya menggambarkan makna utama konsep ini sebagai kawasan angka yang dibatasi dari atas oleh garis fungsi, dan di sepanjang tepi oleh sempadan definisi.

Jean Gaston Darboux, ahli matematik Perancis, pada separuh kedua abad ke-19 sangat jelas menjelaskan apa yang penting. Dia melakukannya dengan jelas bahawa, secara keseluruhannya, tidak sukar walaupun untuk seorang pelajar sekolah menengah untuk memahami soalan ini.

Katakan ada fungsi bentuk yang kompleks. Paksi koordinat, yang mana nilai-nilai hujah itu diplot, dibahagikan kepada sela-sela kecil, dengan idealnya adalah tak terbatas, tetapi kerana pengertian tak terhingga agak abstrak, cukup untuk membayangkan hanya segmen-segmen kecil yang nilainya biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani Δ (delta).

Fungsi itu "dipotong" menjadi bata kecil.

Untuk setiap nilai hujah ada sepadan dengan titik pada paksi ordinat di mana nilai-nilai yang bersamaan dengan fungsi itu diplotkan. Tetapi kerana sempadan kawasan yang dipilih adalah dua, maka nilai-nilai fungsi tersebut juga akan menjadi dua, lebih besar dan lebih kecil.

Jumlah produk nilai besar dengan kenaikan Δ dipanggil jumlah Darboux yang besar, dan dilambangkan oleh S. Oleh itu, nilai yang lebih kecil di wilayah yang dibatasi oleh Δ bersama-sama membentuk jumlah kecil Darboux. Bahagian itu sendiri menyerupai trapezoid segi empat tepat, kerana kelengkungan garis fungsi dapat diabaikan dengan kenaikan tak terbatas. Cara paling mudah untuk mencari kawasan seperti angka geometrik adalah untuk menambah produk yang lebih besar dan lebih kecil nilai kepada kenaikan Δ-dan dibahagikan dengan dua, iaitu, untuk menentukan ia sebagai purata aritmetik.

Inilah integrasi Darboux:

S = Σf (x) Δ adalah jumlah kecil;

S = Σf (x + Δ) Δ adalah jumlah yang besar.

Jadi, apakah yang penting? Kawasan yang dibatasi oleh garis fungsi dan sempadan takrif adalah:

∫f (x) dx = {(S + s) / 2} + c

Iaitu, purata aritmetik bagi jumlah Darboux besar dan kecil adalah nilai malar, yang dibatalkan oleh pembezaan.

Prosiding dari ekspresi geometri konsep ini, makna fizikal integral juga menjadi jelas. Bidang angka, yang digambarkan oleh fungsi halaju, dan dibatasi oleh selang masa sepanjang paksi abscissa, akan menjadi panjang jalan yang dilalui.

L = ∫f (x) dx dalam selang dari t1 hingga t2,

Di mana

F (x) ialah fungsi halaju, iaitu formula yang mana ia berubah mengikut masa;

L ialah panjang laluan;

T1 - masa permulaan laluan;

T2 ialah masa tamat jalan.

Tepat menurut prinsip yang sama, magnitud kerja ditentukan, hanya sepanjang abscissa jarak akan disimpan, dan pada ordinat magnitud daya yang digunakan pada setiap titik tertentu.