Hipotesis Riemann. Pengagihan nombor perdana

Pada tahun 1900, salah seorang saintis terbesar abad lalu, David Hilbert menyusun senarai yang terdiri daripada 23 masalah yang tidak dapat diselesaikan dalam sains matematik. Bekerja pada mereka mempunyai kesan yang luar biasa terhadap perkembangan bidang pengetahuan manusia ini. Selepas 100 tahun, Institut Matematik Clay membentangkan senarai 7 masalah yang dikenali sebagai Millennium Challenge. Untuk keputusan masing-masing hadiah dalam 1 juta dolar telah ditawarkan.

Satu-satunya masalah yang ternyata berada di antara kedua-dua senarai teka-teki, telah menjadi lebih daripada satu abad saintis yang tidak menentu, telah menjadi hipotesis Riemann. Dia masih menunggu keputusannya.

Nota biografi ringkas

Georg Friedrich Bernhard Riemann dilahirkan pada tahun 1826 di Hanover, dalam keluarga besar pendeta yang miskin, dan tinggal hanya 39 tahun. Dia berjaya menerbitkan 10 karya. Walau bagaimanapun, sudah sepanjang zaman Riemann dianggap pengganti gurunya Johann Gauss. Pada usia 25 tahun, saintis muda mempertahankan tesis "Asas teori fungsi pembolehubah yang kompleks". Kemudian dia merumuskan hipotesisnya sendiri, yang menjadi terkenal.

Nombor Perdana

Matematik muncul apabila seseorang belajar untuk dikira. Pada masa yang sama, idea pertama mengenai nombor muncul, yang kemudiannya cuba untuk diklasifikasikan. Adalah diperhatikan bahawa sesetengah daripada mereka mempunyai sifat biasa. Khususnya, di kalangan nombor semulajadi, iaitu, yang digunakan untuk mengira (bilangan) atau menetapkan bilangan objek, sekumpulan mereka yang dibahagikan hanya kepada perpaduan dan ke dalam diri mereka sendiri. Mereka dipanggil mudah. Bukti yang elegan tentang teorem infiniti set nombor tersebut diberikan oleh Euclid dalam "Permulaan" beliau. Pada masa ini, carian mereka terus berlanjutan. Khususnya, yang terbesar yang sudah diketahui adalah nombor 2 ^{74 207 281} - 1.

Formula Euler

Seiring dengan pengertian tak terhingga bilangan set nombor perdana, Euclid juga menentukan teorema kedua pada penaksiran utama sahaja yang mungkin. Menurutnya, mana-mana integer positif adalah produk hanya satu set prima. Pada tahun 1737 ahli matematik Jerman yang hebat Leonard Euler menyatakan teorem pertama Euclid pada infiniti dalam bentuk formula yang dibentangkan di bawah.

Ia dipanggil fungsi zeta, di mana s adalah malar, dan p mengambil semua nilai mudah. Dari sini terus dan pernyataan Euclid tentang keunikan penguraian.

Fungsi Riemann zeta

Rumus Euler pada pemeriksaan yang lebih dekat cukup mengejutkan, kerana ia menetapkan nisbah antara nombor mudah dan integer. Lagipun, di bahagian kiri yang tidak terhingga banyak ekspresi dilipatgandakan, bergantung hanya pada yang mudah, dan hak adalah jumlah yang dikaitkan dengan semua integer positif.

Riemann pergi lebih jauh daripada Euler. Untuk mencari kunci kepada masalah pengedaran nombor, beliau mencadangkan untuk menentukan formula untuk kedua-dua pembolehubah sebenar dan kompleks. Ia kemudiannya dipanggil fungsi Riemann zeta. Pada tahun 1859, ahli sains menerbitkan sebuah artikel di bawah tajuk "Pada bilangan bilangan prima yang tidak melebihi nilai tertentu", di mana dia merumuskan semua ideanya.

Riemann yang dicadangkan menggunakan siri Euler, konvergen untuk mana-mana s> 1 sebenar. Jika formula yang sama digunakan untuk s kompleks, maka siri ini akan menumpuk untuk mana-mana nilai pembolehubah ini dengan bahagian sebenar lebih besar daripada 1. Riemann menggunakan prosedur penerusan analitik, memperluaskan definisi zeta (s) kepada semua nombor kompleks, tetapi "membuang" unit. Ia telah dikecualikan, kerana untuk s = 1 fungsi zeta meningkat kepada tak terhingga.

Makna praktikal

Persoalan semulajadi timbul: apa yang menarik dan penting ialah fungsi zeta, yang merupakan kunci dalam kerja Riemann pada hipotesis nol? Seperti yang diketahui, pada masa ini tidak ada corak mudah yang akan menggambarkan pengagihan nombor perdana di kalangan nombor semula jadi. Riemann berjaya menemui bahawa nombor pi (x) nombor perdana yang tidak melebihi x dinyatakan dengan pengedaran nol nontrivial fungsi zeta. Selain itu, hipotesis Riemann adalah syarat yang diperlukan untuk membuktikan anggaran masa operasi beberapa algoritma kriptografi.

Hipotesis Riemann

Salah satu rumusan pertama masalah matematik ini, yang belum terbukti hingga ke hari ini, terdengar seperti ini: fungsi zeta bukan remeh 0 adalah bilangan yang rumit dengan bahagian sebenar sama dengan ½. Dalam erti kata lain, ia terletak pada baris Re = s ½.

Terdapat juga hipotesis Riemann umum, yang merupakan pernyataan yang sama, tetapi untuk generalisasi zeta-functions, yang biasanya dipanggil Dirichlet L-functions (lihat gambar di bawah).

Dalam formula, χ (n) adalah beberapa aksara berangka (modulo k).

Pernyataan Riemannian dianggap sebagai hipotesis nol yang dipanggil, kerana ia telah diperiksa untuk konsisten dengan data sampel yang sedia ada.

Seperti yang dikatakan Riemann

Pernyataan ahli matematik Jerman pada asalnya dirumus agak kasar. Faktanya ialah pada masa itu ahli sains akan membuktikan teorem mengenai pengedaran nombor perdana, dan dalam konteks ini, hipotesis ini tidak mempunyai maksud khusus. Walau bagaimanapun, peranannya dalam menyelesaikan banyak isu lain adalah sangat besar. Itulah sebabnya anggapan Riemann pada masa ini oleh ramai saintis diiktiraf sebagai yang paling penting dalam masalah matematik yang tidak terbukti.

Seperti yang telah disebutkan, untuk membuktikan teorem pengedaran, hipotesis Riemann yang lengkap tidak diperlukan, dan ia cukup untuk secara logik membenarkan bahawa bahagian sebenar sebarang sifar nontrivial fungsi zeta terletak pada selang 0 hingga 1. Ini adalah dari harta ini bahawa jumlah lebih dari 0 m Fungsi Zeta, yang muncul dalam formula tepat yang diberikan di atas, adalah pemalar terhingga. Untuk nilai-nilai besar x, ia boleh hilang sama sekali. Satu-satunya ahli formula yang tetap tidak berubah walaupun untuk x yang sangat besar adalah x itu sendiri. Istilah komposit yang selebihnya asymptotically hilang berbanding dengannya. Oleh itu, jumlah tertimbang cenderung kepada x. Keadaan ini boleh dianggap sebagai pengesahan kebenaran teorem mengenai pembahagian nombor utama. Oleh itu, nol fungsi Rieta zeta mempunyai peranan khas. Ia terbukti dalam membuktikan bahawa nilai sedemikian tidak dapat memberikan sumbangan penting kepada formula pengembangan.

Pengikut Riemann

Kematian tragis dari tuberkulosis tidak membenarkan ahli sains ini membawa programnya kepada kesimpulan logiknya. Walau bagaimanapun, beliau telah diambil alih dari batalion Sh. De la Vallee Poussin dan Jacques Hadamard. Terlepas dari satu sama lain, mereka memperoleh teorem mengenai pengedaran nombor utama. Hadamard dan Poussin berjaya membuktikan bahawa semua fungsi zeta bukan remeh berada dalam kumpulan kritikal.

Terima kasih kepada kerja saintis ini, arah baru dalam matematik - teori nombor analitis - muncul. Kemudian, para penyelidik lain memperoleh bukti-bukti yang lebih primitif tentang teorem di mana Riemann bekerja. Khususnya, Pal Erdes dan Atle Selberg mendapati walaupun rantaian logik yang sangat kompleks yang mengesahkannya, yang tidak memerlukan penggunaan analisis rumit. Walau bagaimanapun, pada masa ini, beberapa teori penting telah dibuktikan dengan cara idea Riemann, termasuk penghampiran banyak fungsi teori nombor. Dalam hal ini, kerja baru Erdos dan Atle Selberg praktikal tidak mempengaruhi apa-apa.

Salah satu bukti yang paling mudah dan paling indah mengenai masalah itu telah ditemui pada tahun 1980 oleh Donald Newman. Ia didasarkan pada teorem terkenal Cauchy.

Adakah hipotesis Riemannian mengancam asas-asas kriptografi moden?

Penyulitan data timbul dengan kemunculan hieroglif, lebih tepatnya, mereka sendiri boleh dianggap sebagai kod pertama. Pada masa ini terdapat satu garis kriptografi digital, yang sedang membangunkan algoritma penyulitan.

Nombor mudah dan "semisimple", iaitu, yang membahagikan hanya dengan 2 nombor lain dari kelas yang sama, mendasari sistem kunci awam yang dikenali sebagai RSA. Ia mempunyai aplikasi terluas. Khususnya, ia digunakan apabila menjana tandatangan elektronik. Sekiranya bertutur dalam istilah yang boleh diakses dengan "teapots", hipotesis Riemann menegaskan kewujudan sistem dalam pengedaran nombor utama. Oleh itu, kekukuhan kunci kriptografi, di mana keselamatan transaksi dalam talian dalam bidang e-dagang bergantung, dikurangkan dengan ketara.

Masalah matematik yang tidak dapat diselesaikan

Selesaikan artikel ini dengan berhati-hati dengan mendedikasikan beberapa perkataan kepada tugas lain dalam alaf. Ini termasuk:

• Kesamaan kelas P dan NP. Masalahnya dirumuskan seperti berikut: jika jawapan positif terhadap soalan tertentu diperiksa untuk masa polinomial, adakah benar bahawa jawapannya sendiri kepada soalan ini dapat dijumpai dengan cepat?
• Hipotesis Hodge. Dalam kata yang mudah, ia boleh dirumuskan seperti berikut: untuk beberapa jenis jenis aljabar projektif (ruang), kitaran Hodge adalah gabungan objek yang mempunyai tafsiran geometri, iaitu, algebraic cycle.
• Teki Poincaré. Ini adalah satu-satunya masalah milenium yang telah terbukti setakat ini. Menurutnya, mana-mana objek 3-dimensi yang mempunyai ciri-ciri khusus sfera 3-dimensi mestilah sfera sehingga ubah bentuk.
• Pernyataan kuantum teori Yang-Mills. Ia dikehendaki untuk membuktikan bahawa teori kuantum yang dikemukakan oleh para saintis ini untuk ruang R4 wujud dan mempunyai kecacatan jisim ke-0 untuk setiap kumpulan kompak tolok mudah.
• Dugaan Birch-Swinnerton-Dyer. Ini adalah masalah lain yang berkaitan dengan kriptografi. Ia melibatkan keluk elips.
• Masalah kewujudan dan kelancaran penyelesaian persamaan Navier-Stokes.

Sekarang anda tahu hipotesis Riemann. Secara ringkasnya, kami juga merumuskan beberapa tugas lain dalam alaf. Hakikat bahawa mereka akan diselesaikan atau ia akan dibuktikan bahawa mereka tidak mempunyai penyelesaian adalah masalah masa. Dan tidak mungkin ini akan menunggu terlalu lama, kerana matematik semakin menggunakan keupayaan pengkomputeran komputer. Walau bagaimanapun, tidak semuanya tertakluk kepada teknologi, dan untuk menyelesaikan masalah saintifik, intuisi dan kreativiti adalah yang pertama sekali diperlukan.