Tidak terbatas penting. Pengiraan kamiran terbatas

Salah satu bahagian fundamental analisis matematik kalkulus kamiran. Ia meliputi bidang yang sangat luas objek, di mana yang pertama - ia adalah tidak terbatas penting. Kedudukan ia berdiri sebagai kunci yang masih di sekolah tinggi mendedahkan peningkatan jumlah prospek dan peluang, yang menerangkan matematik yang lebih tinggi.

penampilan

Pada pandangan pertama, ia seolah-olah benar-benar penting kepada moden, topikal, tetapi dalam amalan ia ternyata bahawa dia datang kembali pada tahun 1800 SM. Rumah untuk dianggap secara rasmi Mesir sebagai tidak sampai kepada kami bukti awal kewujudannya. Ia disebabkan oleh kekurangan maklumat, selama ini diletakkan hanya sebagai satu fenomena. Beliau sekali lagi mengesahkan tahap pembangunan saintifik bangsa di masa-masa. Akhirnya, kerja-kerja telah mendapati ahli matematik Yunani purba, yang bertarikh dari SM abad ke-4. Mereka menggambarkan kaedah yang digunakan di mana tidak terbatas penting, intipati yang adalah untuk mencari jumlah atau kawasan bentuk garis melengkung (pesawat tiga dimensi dan dua dimensi, masing-masing). pengiraan adalah berdasarkan prinsip pembahagian angka asal ke dalam komponen yang sangat kecil, dengan syarat bahawa kelantangan (kawasan) sudah menyatakan diri. Dari masa ke masa, kaedah yang telah berkembang, Archimedes menggunakannya untuk mencari luas parabola. Pengiraan yang sama pada masa yang sama untuk menjalankan latihan di China purba, di mana ia benar-benar bebas daripada rakan sains Yunani.

pembangunan

Penemuan seterusnya dalam abad ke-XI BC telah menjadi kerja-kerja ulama Arab "wagon" Abu Ali al-Basri, yang menolak sempadan yang sudah diketahui, telah diperolehi daripada formula yang penting untuk mengira jumlah wang yang jumlah dan darjah dari yang pertama untuk keempat, memohon ini kepada kita kaedah induksi.
Minda hari ini dikagumi oleh orang Mesir purba dicipta monumen yang menakjubkan tanpa apa-apa alat khas, kecuali yang tangan mereka sendiri, tetapi tidak adalah kuasa saintis gila masa tidak kurang keajaiban? Berbanding dengan masa semasa hidup mereka seolah-olah hampir primitif, tetapi keputusan kamiran terbatas disimpulkan mana-mana dan digunakan dalam amalan untuk perkembangan lanjut.

Langkah seterusnya berlaku pada abad XVI, apabila ahli matematik Itali Cavalieri membawa kaedah agihkan, yang meningkat Penerbangan Ferma. Kedua-dua personaliti meletakkan asas bagi kalkulus kamiran moden, yang dikenali pada masa ini. Mereka terikat konsep pembezaan dan integrasi, yang sebelum ini dilihat sebagai unit serba lengkap. Oleh dan besar, matematik masa itu adalah zarah berpecah-belah penemuan wujud dengan sendirinya, dengan penggunaan yang terhad. Cara untuk bersatu dan mencari titik persamaan adalah yang benar, pada masa ini, terima kasih kepadanya, moden analisis matematik mempunyai peluang untuk membesar dan berkembang.

Dengan peredaran masa mengubah segala-galanya dan simbol penting juga. Oleh dan besar, ia telah ditetapkan saintis yang dengan cara sendiri, sebagai contoh, Newton menggunakan icon persegi, yang meletakkan fungsi terkamir, atau hanya meletakkan bersama-sama. perbezaan ini berlangsung sehingga abad XVII, apabila satu mercu tanda bagi seluruh teori analisis matematik saintis Gotfrid Leybnits diperkenalkan seperti watak yang kita kenali. Memanjang "S" sebenarnya berdasarkan surat ini daripada abjad Roman, sejak menandakan jumlah primitif. Nama penting yang diperolehi terima kasih kepada Jakob Bernoulli, selepas 15 tahun.

Takrif formal

Kamiran terbatas bergantung kepada definisi primitif, jadi kami berpendapat bahawa di tempat pertama.

Antiterbitan - adalah fungsi songsang bagi derivatif, dalam amalan ia dipanggil primitif. Sebaliknya: fungsi primitif d - adalah D fungsi, yang merupakan terbitan v <=> V '= v. Carian primitif adalah untuk mengira dos penting, dan proses itu sendiri dipanggil integrasi.

contoh:

Fungsi s (y) = y ^3, dan S yang primitif (y) = (y ^4/4).

Set semua primitif fungsi - ini adalah yang tidak ditentukan penting, ditandakan ia seperti berikut: ∫v (x) dx.

Oleh kerana hakikat bahawa V (x) - hanya beberapa fungsi asal primitif, ungkapan memegang: ∫v (x) dx = V (x) + C, di mana C - berterusan. Di bawah pemalar sembarangan merujuk kepada mana-mana yang berterusan, kerana derivatif adalah sifar.

hartanah

Sifat-sifat yang dimiliki oleh kamiran tidak ditentukan, pada dasarnya berdasarkan definisi dan ciri-ciri derivatif.
Pertimbangkan perkara utama:

• terbitan asasi primitif adalah primitif sendiri ditambah dengan sewenang-wenangnya berterusan C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• terbitan kamiran fungsi adalah fungsi asal <=> (∫v (x) dx) = v (x);
• tetap dikeluarkan dari tanda kamiran <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, di mana k - adalah sewenang-wenangnya;
• penting, yang diambil daripada jumlah yang sepercaman sama dengan jumlah kamiran <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Dua sifat yang terakhir dapat disimpulkan bahawa kamiran terbatas adalah linear. Oleh kerana ini, kita mempunyai: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Untuk melihat contoh penetapan penyelesaian kamiran tidak ditentukan.

Anda perlu mencari ∫ kamiran (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Daripada contoh di kita boleh menyimpulkan bahawa anda tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan kamiran terbatas? Hanya mencari semua primitif! Tetapi mencari prinsip-prinsip yang dibincangkan di bawah.

Kaedah dan Contoh

Dalam usaha untuk menyelesaikan kamiran, anda boleh mengambil jalan keluar dengan kaedah berikut:

• bersedia untuk mengambil kesempatan daripada meja;
• mengintegrasikan oleh bahagian-bahagian;
• bersepadu dengan menggantikan pembolehubah;
• merumuskan bawah tanda pembezaan.

jadual

Cara yang paling mudah dan menyeronokkan. Pada masa ini, analisis matematik boleh berbangga jadual agak luas, yang dinyatakan formula asas kamiran tidak ditentukan. Dalam erti kata lain, terdapat template diperolehi terpulang kepada anda dan anda hanya boleh mengambil kesempatan daripada mereka. Berikut adalah senarai kedudukan meja utama, yang boleh dipaparkan hampir setiap contoh, mempunyai penyelesaian:

• ∫0dy = C, di mana C - malar;
• ∫dy = y + C, di mana C - malar;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, di mana C - pemalar dan n - bilangan yang berbeza daripada perpaduan;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, di mana C - malar;
• ^{∫e y dy = e y + C} , di mana C - malar;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, di mana C - malar;
• ∫cosydy = Siny + C, di mana C - malar;
• ∫sinydy = -cosy + C, di mana C - malar;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, di mana C - malar;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, di mana C - malar;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, di mana C - malar;
• ∫chydy = malu + C, di mana C - malar;
• ∫shydy = Chy + C, di mana C - berterusan.

Jika perlu, membuat beberapa langkah-langkah yang membawa kamiran kepada paparan jadual dan menikmati kemenangan. CONTOH: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Menurut keputusan adalah jelas bahawa contohnya kamiran Rajah tidak mempunyai pengganda 5. Kami menambah ia selari dengan pendaraban ini dengan 1/5 kepada ungkapan umum tidak berubah.

Integrasi oleh Bahagian

Pertimbangkan dua fungsi - z (y) dan x (y). Mereka mesti terus beza pada domainnya. Salah satu ciri-ciri pembezaan kita mempunyai: d (xz) = xdz + ZDX. Mengintegrasikan kedua-dua pihak, kita akan mendapat: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Menulis semula persamaan yang terhasil, kita akan mendapat formula, yang menerangkan kaedah kamiran bahagian demi bahagian: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Mengapa ia perlu? Hakikat bahawa beberapa contoh ia adalah mungkin untuk memudahkan, katakan, untuk mengurangkan ∫xdz ∫zdx, jika kedua adalah berhampiran dengan bentuk jadual yang. Juga, formula ini boleh digunakan lebih daripada sekali, untuk hasil yang optimum.

Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tidak ditentukan dengan cara ini:

• perlu untuk mengira ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {= z} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• mesti mengira ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (LNS-1) + C.

Menggantikan pembolehubah

Ini prinsip menyelesaikan kamiran terbatas tidak kurang permintaan daripada dua sebelumnya, walaupun rumit. Kaedah ini adalah seperti berikut: Mari V (x) - kamiran beberapa fungsi v (x). Sekiranya itu sendiri penting dalam Contoh slozhnosochinenny datang, mungkin keliru dan turun penyelesaian jalan salah. Untuk mengelakkan perubahan amalan ini dari x boleh ubah ke z, di mana ungkapan umum visual dipermudahkan di samping mengekalkan z bergantung kepada x.

Dari segi matematik, ini adalah seperti berikut: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), di mana x = y ( z) - penggantian. Dan, sudah tentu, fungsi songsang z = y ^-1 (x) sepenuhnya menerangkan hubungan dan hubungan pembolehubah. Nota penting - dx pengkamiran semestinya diganti dengan dz pengkamiran baru, kerana perubahan pembolehubah dalam kamiran terbatas melibatkan menggantikan mana-mana, bukan sahaja di dikamir.

contoh:

• perlu mencari ∫ (s + 1) / ⁽² + 2s s - 5) ds

Memohon penggantian z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Kemudian dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Hasilnya, ungkapan berikut, yang sangat mudah untuk mengira:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | s ² + 2s-5 | + C;

• anda perlu mencari penting ∫2 ^s e ^s dx

Untuk menyelesaikan menulis semula dalam bentuk berikut:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} ds 2e) s.

Kami menunjukkan dengan a = 2e (penggantian hujah langkah ini tidak, ia masih s), kami memberi kami seolah-olah rumit penting kepada bentuk jadual asas:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

Merumuskan tanda pengkamiran

Secara keseluruhannya, kaedah kamiran tidak ditentukan - saudara kembar prinsip perubahan berubah-ubah, tetapi terdapat perbezaan dalam proses pendaftaran. Mari kita kaji dengan lebih terperinci.

Jika ∫v (x) dx = V (x) + C dan y = z (x), maka ∫v (y) dy = V (y) + C.

Pada masa yang sama kita tidak boleh lupa transformasi penting remeh, antaranya:

• dx = d (x + a), dan di mana - setiap malar;
• dx = (1 / a) d (ax + b), di mana - berterusan lagi, tetapi tidak sifar;
• XDX = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Jika kita menganggap kes umum di mana kita mengira dos penting, contoh boleh digolongkan di bawah formula umum w '(x) dx = dw (x).

contoh:

• perlu mencari ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

bantuan dalam talian

Dalam beberapa kes, kesalahan yang boleh menjadi atau malas, atau keperluan segera, anda boleh menggunakan arahan dalam talian, atau sebaliknya, untuk menggunakan kalkulator kamiran tidak ditentukan. Walaupun kerumitan yang jelas dan bersifat kontroversi kamiran, keputusan itu adalah tertakluk kepada algoritma khusus mereka, yang berdasarkan kepada prinsip "jika anda tidak ... maka ...".

Sudah tentu, contoh terutamanya rumit kalkulator itu tidak akan menguasai, kerana terdapat kes-kes di mana keputusan perlu mencari buatan "dipaksa" dengan memperkenalkan unsur-unsur tertentu dalam proses itu, kerana keputusan adalah cara yang jelas untuk mencapai. Walaupun sifat kontroversi kenyataan ini, ia adalah benar, kerana matematik, pada dasarnya, sains yang abstrak, dan objektif utamanya menganggap keperluan untuk memberi kuasa kepada sempadan. Malah, bagi yang lancar menjelang dalam teori-teori adalah amat sukar untuk bergerak ke atas dan berkembang, jadi jangan menganggap bahawa contoh-contoh menyelesaikan kamiran terbatas, yang memberikan kita - ini adalah kemuncak peluang. Tetapi kembali kepada bahagian teknikal perkara. Sekurang-kurangnya untuk menyemak pengiraan, anda boleh menggunakan perkhidmatan ini di mana ia telah bertulis kepada kami. Jika terdapat keperluan untuk pengiraan automatik ungkapan kompleks, maka mereka tidak perlu mengambil jalan keluar dengan perisian yang lebih serius. Perlu memberi perhatian terutamanya kepada persekitaran MatLab itu.

permohonan

Keputusan kamiran terbatas pada pandangan pertama nampaknya benar-benar terpisah daripada realiti, kerana ia adalah sukar untuk melihat penggunaan jelas pesawat. Malah, terus menggunakan mereka di mana sahaja anda tidak boleh, tetapi mereka adalah unsur perantaraan yang diperlukan dalam proses pengeluaran penyelesaian yang digunakan dalam amalan. Oleh itu, integrasi pembezaan belakang, dengan itu secara aktif dalam proses menyelesaikan persamaan.
Sebaliknya, persamaan ini mempunyai kesan langsung kepada keputusan masalah mekanikal, pengiraan trajektori dan kekonduksian haba - pendek kata, segala-galanya yang membentuk masa kini dan membentuk masa depan. contoh tidak terbatas penting, yang mana kami telah mempertimbangkan di atas, hanya remeh pada pandangan pertama, sebagai asas untuk menjalankan lebih banyak penemuan baru.