Apakah tangen kepada bulatan? Sifat tangen kepada bulatan. Tangent biasa kepada dua kalangan

Secs, tangen - semua ini beratus kali anda boleh mendengar pada pelajaran geometri. Tetapi tamat pengajian dari sekolah di belakang, lulus bertahun-tahun, dan semua pengetahuan ini dilupakan. Apa yang perlu saya ingat?

Essence

Istilah "tangen kepada bulatan" adalah biasa kepada semua orang, mungkin. Tetapi tidak semua orang akan dapat dengan cepat merumuskan definisi beliau. Sementara itu, tangen adalah garis lurus berbaring dalam satu satah dengan bulatan yang hanya memotong satu titik. Terdapat banyak jumlahnya, tetapi mereka semua mempunyai ciri yang sama, yang akan dibincangkan di bawah. Ia tidak sukar untuk meneka bahawa titik ketajaman adalah tempat di mana bulatan dan garis bersilang. Dalam setiap kes, ia adalah satu, tetapi jika terdapat lebih banyak, ia akan menjadi secant.

Sejarah penemuan dan kajian

Konsep tangen muncul pada zaman dahulu. Pembinaan garis lurus ini terlebih dahulu ke bulatan, dan kemudian kepada elips, parabolas dan hyperbolas dengan bantuan penguasa dan kompas dilakukan bahkan pada tahap awal perkembangan geometri. Sudah tentu, sejarah tidak mengekalkan nama penemu itu, tetapi jelas bahawa walaupun pada masa itu orang tahu sifat tangen ke bulatan.

Pada zaman moden, minat dalam fenomena ini semakin membesar - satu pusingan baru mempelajari konsep ini bermula bersempena dengan penemuan kurva baru. Oleh itu, Galileo memperkenalkan konsep sikloid, dan Fermat dan Descartes membina tangen padanya. Bagi bulatan, nampaknya walaupun untuk orang dahulu tidak terdapat rahsia di kawasan ini.

Hartanah

Jejari yang ditarik pada titik persilangan akan berserenjang dengan garis lurus. Ini adalah Asas, tetapi bukan satu-satunya harta yang mempunyai tangen pada bulatan. Satu lagi ciri penting termasuk dua garis lurus. Jadi, melalui satu titik yang terletak di luar bulatan, anda boleh menarik dua tangen, dan segmen mereka akan sama. Terdapat satu lagi teorem mengenai topik ini, tetapi jarang diadakan dalam rangka kursus sekolah biasa, walaupun sangat mudah untuk menyelesaikan beberapa masalah. Kedengarannya seperti ini. Dari satu titik yang terletak di luar bulatan, tangen dan sekeping ditarik ke sana. Segmen AB, AC dan AD dibentuk. A ialah persimpangan garis, B adalah titik tangensi, C dan D adalah persimpangan. Dalam kes ini, persamaan berikut akan sah: panjang tangen kepada bulatan, kuasa dua, akan sama dengan produk segmen AC dan AD.

Daripada perkara di atas, terdapat kesan yang penting. Untuk setiap titik bulatan, seseorang boleh membina tangen, tetapi hanya satu. Buktinya ini agak mudah: secara teorinya menjatuhkan tegak lurus dari jejari, kita mengetahui bahawa segi tiga yang terbentuk tidak boleh wujud. Dan ini bermakna tangen adalah unik.

Bangunan

Antara masalah lain dalam geometri terdapat kategori khas, sebagai peraturan, tidak Menikmati cita rasa pelajar dan pelajar. Untuk menyelesaikan tugas dari kategori ini, hanya kompas dan penguasa yang diperlukan. Ini adalah tugas pembinaan. Di sana mereka dan pembinaan tangen.

Oleh itu, diberikan bulatan dan titik yang terletak di luar sempadannya. Dan ia perlu menarik tangen melalui mereka. Bagaimana ini boleh dilakukan? Pertama sekali, kita perlu menarik segmen antara pusat bulatan O dan titik yang diberikan. Kemudian, dengan menggunakan kompas, anda harus membahagikannya kepada separuh. Untuk melakukan ini, anda perlu menentukan radius - hanya separuh jarak antara pusat bulatan asal dan titik yang diberikan. Selepas ini, kita perlu membina dua busuk bersilang. Dan jejari kompas tidak perlu diubah, dan pusat setiap bahagian bulatan adalah titik awal dan O, masing-masing. Persimpangan busur mesti disatukan, yang akan membahagikan segmen itu kepada separuh. Tetapkan radius sama dengan jarak ini pada kompas. Selanjutnya, dengan pusat di titik persimpangan, bina satu lagi lingkaran. Ia akan mengandungi kedua-dua titik asal dan O. Akan ada dua lagi persimpangan dengan lingkaran yang diberikan dalam masalah itu. Mereka akan menjadi titik tangency untuk titik awal yang dinyatakan.

Menarik

Ia adalah pembinaan tangen kepada bulatan yang membawa kepada kelahiran Kalkulus berbeza. Kerja pertama mengenai topik ini diterbitkan oleh ahli matematik Jerman terkenal Leibniz. Dia menjangkakan kemungkinan mencari maksima, minima dan tangen, tanpa mengira nilai pecahan dan tidak rasional. Nah, kini ia digunakan untuk pengiraan banyak lagi.

Di samping itu, tangen ke bulatan itu berkaitan dengan makna geometri tangen. Ia adalah dari ini bahawa namanya berasal. Dalam terjemahan dari Latin tangens - "tangen". Oleh itu, konsep ini tidak hanya berkaitan dengan geometri dan kalkulus kebezaan, tetapi juga dengan trigonometri.

Dua bulatan

Tidak semestinya tangen hanya akan menjejaskan satu angka. Jika anda boleh menarik sejumlah besar garis lurus ke satu bulatan, maka kenapa tidak sebaliknya? Anda boleh. Itulah masalahnya dalam kes ini adalah sangat rumit, kerana tangen kepada dua kalangan tidak boleh melalui mana-mana titik, dan susunan bersama semua angka ini boleh sangat Berbeza.

Jenis dan jenis

Apabila ia datang kepada dua kalangan dan satu atau beberapa baris, walaupun diketahui bahawa ini adalah tangen, ia tidak segera menjadi jelas bagaimana semua angka-angka ini disusun dalam hubungan antara satu sama lain. Atas dasar ini, membezakan beberapa jenis. Oleh itu, kalangan boleh mempunyai satu atau dua perkara biasa atau tidak mempunyai mereka sama sekali. Dalam kes pertama, mereka akan bersilang, dan dalam sentuhan kedua -. Dan di sini kita membezakan dua jenis. Jika satu bulatan, seperti yang tertanam di kedua, maka sentuhan dipanggil dalaman, jika tidak, kemudian luaran. Anda boleh memahami susunan angka bersama bukan hanya dari lukisan, tetapi juga dengan maklumat mengenai jumlah radii mereka dan jarak antara pusat mereka. Sekiranya kedua-dua kuantiti ini sama, maka lingkaran menyentuh. Jika yang pertama lebih besar - bersilang, dan jika kurang - maka tidak mempunyai mata yang sama.

Jadi dengan garis lurus. Untuk mana-mana dua kalangan yang tidak mempunyai mata biasa,
Bina empat tangen. Dua daripada mereka akan berpotongan antara angka, mereka dipanggil dalaman. Beberapa orang lain adalah luaran.

Sekiranya kita bercakap mengenai kalangan yang mempunyai satu titik yang sama, maka masalah itu dipermudahkan dengan serius. Faktanya ialah untuk sebarang susunan bersama dalam kes ini tangen hanya akan mempunyai satu. Dan ia akan melalui titik persimpangan mereka. Jadi pembinaan kesukaran itu tidak akan menyebabkan.

Jika angka mempunyai dua titik persimpangan, maka garis lurus tangen untuk lingkaran boleh dibina untuk mereka, kedua-dua satu dan yang kedua, tetapi hanya yang luar. Penyelesaian masalah ini adalah sama dengan apa yang akan dibincangkan kemudian.

Penyelesaian Masalah

Kedua-dua tangen dalaman dan luaran kepada dua bulatan, dalam pembinaan tidak begitu mudah, walaupun masalah ini diselesaikan. Fakta adalah bahawa angka tambahan digunakan untuk ini, jadi untuk memikirkan kaedah sedemikian sendiri Adalah agak bermasalah. Oleh itu, dua bulatan yang berbeza radiasi dan pusat O1 dan O2 diberikan. Bagi mereka, kita perlu membina dua pasang tangen.

Pertama sekali, berhampiran pusat bulatan yang lebih besar, kita perlu membina satu tambahan. Pada masa yang sama, perbezaan di antara radii dua angka asal harus ditetapkan pada kompas. Dari pusat bulatan yang lebih kecil, tangen ke bulatan tambahan dibina. Selepas itu, dari O1 dan O2, perpendiculars kepada garis lurus ini dibuat sebelum melintasi angka asal. Seperti yang berikut dari harta asas tangen, titik-titik yang diperlukan pada kedua-dua kalangan dijumpai. Masalahnya diselesaikan, sekurang-kurangnya, bahagian pertama.

Untuk membina tangen dalaman, adalah perlu untuk menyelesaikan secara praktikal Masalah yang sama. Sekali lagi kita memerlukan angka tambahan, tetapi kali ini radiusnya akan sama dengan jumlah yang asal. Untuk itu, tangen dibina dari pusat salah satu kalangan ini. Kursus selanjutnya penyelesaian dapat difahami dari contoh terdahulu.

Tangent ke bulatan atau bahkan dua atau lebih bukan tugas yang sukar. Sudah tentu, ahli matematik telah lama berhenti menyelesaikan masalah tersebut secara manual dan perhitungan kepercayaan kepada program khas. Tetapi jangan berfikir bahawa sekarang anda tidak perlu dapat melakukannya sendiri, kerana dengan betul merumuskan tugas untuk komputer anda perlu banyak dan memahami. Malangnya, terdapat kebimbangan bahawa selepas peralihan terakhir ke bentuk ujian kawalan pengetahuan, tugas pembinaan akan menyebabkan lebih banyak kesukaran untuk pelajar.

Bagi mencari tangen biasa untuk lebih banyak kalangan, ini tidak selalu mungkin, walaupun mereka berada dalam pesawat yang sama. Tetapi dalam beberapa kes, anda boleh mencari seperti garis lurus.

Contoh dari kehidupan

Satu tangen yang sama untuk dua bulatan sering dijumpai dalam amalan, walaupun ini tidak selalu ketara. Penghantar, sistem blok, tali pinggang pemindahan kendi, ketegangan benang dalam mesin jahit, dan bahkan hanya rantai basikal adalah semua contoh dari kehidupan. Oleh itu jangan berfikir bahawa masalah geometri hanya tinggal dalam teori: dalam bidang kejuruteraan, fizik, pembinaan dan banyak bidang lain yang mereka dapati permohonan praktikal.