Paradoks Russell: maklumat asas, contoh, penggubalan

Russell paradoks adalah dua antinomy logik saling bergantung.

Dua bentuk paradoks Russell

Bentuk yang paling sering diperkatakan iaitu percanggahan dalam set logik. Antara set seolah-olah menjadi anggota itu sendiri, dan lain-lain - tidak ada. Set semua set itu sendiri set, jadi ia seolah-olah bahawa ia merujuk kepada dirinya. Nol atau kosong, bagaimanapun, tidak harus menjadi ahli sendiri. Oleh itu, set semua set, sebagai sifar tidak termasuk ke dalam dirinya. paradoks timbul apabila persoalan sama ada set ahli sendiri. Ini tidak mustahil jika dan hanya jika ia tidak.

Satu lagi bentuk paradoks percanggahan mengenai hartanah. Sesetengah hartanah, seolah-olah merujuk kepada diri mereka sendiri, manakala yang lain tidak. Hartanah ini sebagai harta sendiri adalah harta, sedangkan harta yang ada kucing tidak. Pertimbangkan harta yang mempunyai harta yang bukan milik dia. jika ia boleh digunakan untuk dirinya? Sekali lagi, mana-mana andaian perlu sebaliknya. Paradoks telah dinamakan sebagai penghormatan kepada Bertrand Russell (1872-1970), yang ditemui dalam 1901.

cerita

Pembukaan Russell berlaku semasa kerja-kerja mengenai "Prinsip Matematik". Walaupun dia menemui paradoks secara bebas, terdapat bukti bahawa ahli matematik dan pemaju teori set, termasuk Ernst Zermelo dan lain-lain David Hilbert, menyedari versi pertama percanggahan di hadapannya. Russell, bagaimanapun, adalah yang pertama yang dibincangkan secara terperinci paradoks dalam karya-karya beliau diterbitkan, mula-mula cuba untuk merumuskan penyelesaian dan yang pertama untuk menghargai sepenuhnya kepentingannya. Satu bab keseluruhan "Prinsip" telah dikhaskan untuk perbincangan mengenai isu ini, dan permohonan itu telah menumpukan kepada teori jenis, yang Russell dicadangkan sebagai penyelesaian.

Russell menemui "Paradoks pendusta ', memandangkan teori set Cantor yang mengatakan bahawa kuasa mana-mana set adalah lebih kecil daripada set subset itu. Sekurang-kurangnya dalam domain adalah seperti banyak subset kerana terdapat unsur-unsur di dalamnya, jika satu subset bagi setiap elemen ditetapkan hanya mengandungi elemen ini. Tambahan pula, Cantor membuktikan bahawa bilangan elemen tidak boleh sama dengan jumlah subset. Jika terdapat nombor yang sama, ia perlu wujud ciri ƒ yang akan memaparkan elemen pada subset mereka. Pada masa yang sama ia boleh membuktikan bahawa ini adalah mustahil. Sesetengah item mungkin dipaparkan pada subset fungsi ƒ yang mengandungi mereka, manakala yang lain tidak boleh.

Mempertimbangkan subset unsur-unsur yang tidak tergolong dalam imej mereka, di mana mereka memaparkan ƒ. Ia adalah dengan sendirinya suatu subset unsur-unsur, dan oleh itu, fungsi ƒ akan memaparkannya pada satu elemen dalam domain. Masalahnya ialah bahawa kemudian persoalan timbul sama ada elemen ini tergolong dalam subset di mana ia memaparkan ƒ. Ini hanya boleh dilakukan jika ia bukan milik. paradoks Russell ini boleh dilihat sebagai satu contoh baris yang sama pemikiran, hanya dipermudahkan. Apa yang lebih - set atau subset set? Ia akan kelihatan seolah-olah perlu ada lebih set, kerana semua subset set sendiri. Tetapi jika teorem Cantor adalah benar, maka perlu ada lebih subset. Russell dianggap hanya memaparkan set pada diri mereka sendiri dan digunakan pendekatan kantoriansky mengingati set semua elemen-elemen ini, di luar satu set di mana ia dipaparkan. Tunjukkan Russell menjadi set semua set, yang tidak boleh.

ralat Frege

"Paradoks pendusta" mempunyai kesan yang mendalam kepada sejarah perkembangan teori set. Dia menunjukkan bahawa konsep set semesta adalah sangat bermasalah. Beliau juga mempersoalkan tanggapan bahawa bagi setiap keadaan yang ditakrifkan atau predikat boleh menganggap kewujudan kepelbagaian hanya perkara-perkara yang memenuhi syarat ini. Pilihan paradoks mengenai hartanah - lanjutan kepada set versi - menimbulkan keraguan yang serius sama ada ia adalah mungkin untuk berdebat mengenai kewujudan objektif harta atau pematuhan universal antara satu sama ditentukan oleh keadaan, atau predikat.

Tidak lama kemudian, percanggahan dan masalah dalam kerja-kerja yang logicians ditemui, ahli-ahli falsafah dan ahli matematik yang telah membuat andaian yang sama. Pada tahun 1902, Russell mendapati bahawa varian paradoks boleh dinyatakan dalam sistem logik, yang dibangunkan dalam Jilid I "Asas aritmetik" Gottlob Frege, salah satu daripada kerja-kerja utama pada logik XIX lewat - abad XX awal. Dalam falsafah Frege banyak difahami sebagai "lanjutan" atau "nilai-range" konsep. Konsep-konsep yang paling dekat kepada orang-kaitan. Mereka dijangka wujud bagi apa-apa syarat yang diberikan atau predikat. Oleh itu, terdapat satu konsep satu set, yang tidak jatuh di bawah konsep menentukan. Terdapat juga kelas yang ditakrifkan oleh konsep ini, dan ia adalah tertakluk kepada mentakrifkan konsep hanya jika ia tidak.

Russell menulis kepada Frege tentang konflik ini dalam Jun 1902 Surat-menyurat telah menjadi salah satu yang paling menarik dan bercakap tentang dalam sejarah logik. Frege lantas mengiktiraf Bahana paradoks. Beliau berkata, bagaimanapun, bahawa versi kontroversi mengenai sifat-sifat dalam falsafah beliau telah diselesaikan dengan membezakan antara konsep peringkat.

tanggapan Frege ini difahami sebagai peralihan dari hujah-hujah fungsi untuk TRUE. Konsep tahap pertama mengambil sebagai hujah objek konsep tahap kedua mengambil sebagai hujah untuk fungsi ini, dan sebagainya. Oleh itu, konsep yang sama sekali tidak dapat dirinya sebagai hujah, dan paradoks dari segi sifat-sifat tidak boleh digubal. Walau bagaimanapun set, pengembangan atau konsep Frege difahami sebagai merujuk kepada jenis logik yang sama dengan semua objek lain. Kemudian untuk setiap set terdapat soal sama ada ia jatuh di bawah konsep menentukan ia.

Apabila Frege, Russell menerima surat pertama, jumlah kedua "Asas aritmetik" sudah selesai cetak. Dia terpaksa cepat menyediakan satu aplikasi yang memberikan jawapan kepada paradoks Russell. Contoh Frege mengandungi beberapa penyelesaian yang mungkin. Tetapi dia datang kepada kesimpulan untuk melemahkan konsep set abstraksi dalam sistem logik.

Dalam asal, ia adalah mungkin untuk membuat kesimpulan bahawa objek yang tergolong dalam set jika dan hanya jika ia termasuk dalam konsep, mendefinisikannya. Sistem semakan hanya boleh membuat kesimpulan bahawa objek yang tergolong dalam set jika dan hanya jika ia jatuh dalam pendapat menentukan kepelbagaian, tetapi tidak ditetapkan dalam soalan. paradoks Russell timbul.

penyelesaian, bagaimanapun, tidak sepenuhnya berpuas hati dengan Frege. Dan ini adalah sebabnya. Beberapa tahun kemudian, bentuk yang lebih kompleks percanggahan telah didapati untuk sistem yang disemak semula. Tetapi sebelum ini berlaku, Frege ditinggalkan keputusan beliau dan seolah-olah datang kepada kesimpulan bahawa pendekatan beliau adalah semata-mata tidak boleh dilaksanakan, dan logik yang akan perlu lakukan tanpa mana-mana set.

Masih orang lain telah dicadangkan, penyelesaian alternatif yang agak lebih berjaya. Perkara ini dibincangkan di bawah.

Teori jenis

Ianya dinyatakan di atas bahawa Frege adalah respons yang mencukupi untuk paradoks teori set dalam versi dirumuskan untuk hartanah. sambutan Frege ini telah didahului oleh penyelesaian yang paling kerap dibincangkan untuk borang ini paradoks. Ia adalah berdasarkan kepada fakta bahawa sifat-sifat adalah tertakluk kepada jenis yang berbeza dan apa jenis harta adalah tidak sama dengan barang-barang yang ia merujuk.

Oleh itu, tidak timbul persoalan, sama ada harta itu adalah berkenaan dengan dirinya. bahasa logik, yang memisahkan unsur-unsur seperti hierarki, menggunakan teori jenis. Walaupun ia sudah digunakan oleh Frege, kali pertama ia dijelaskan sepenuhnya dan berasas Russell dalam Lampiran kepada "prinsip". Teori jenis adalah lebih lengkap daripada kelebihan tahap Frege. Dia berkongsi ciri-ciri bukan sahaja jenis logik, tetapi juga ditetapkan. menaip teori untuk menyelesaikan percanggahan dalam paradoks Russell berikut.

Dalam usaha untuk menjadi falsafah yang mencukupi, penggunaan teori jenis hartanah memerlukan pembangunan teori sifat-sifat supaya dapat menjelaskan mengapa mereka tidak boleh digunakan untuk diri mereka sendiri. Pada pandangan pertama, ia masuk akal untuk predikat harta mereka sendiri. Harta menjadi identiti diri, ia akan kelihatan, ia juga merupakan identiti diri. Hartanah ini seolah-olah menjadi yang bagus menyeronokkan. Dengan cara yang sama, nampaknya, ia seolah-olah salah untuk mengatakan bahawa harta yang kucing adalah kucing.

Walau bagaimanapun, pelbagai pemikir dibenarkan pembahagian jenis yang berbeza. Russell juga memberi penjelasan yang berbeza pada masa yang berlainan dalam kerjayanya. Bagi pihaknya, rasional untuk pemisahan konsep yang berbeza tahap Frege datang dari teori konsep tak tepu. Concepts sebagai fungsi, pada dasarnya, tidak lengkap. Untuk memberikan nilai, mereka perlu hujah. Anda bukan hanya satu konsep boleh untuk predikat konsep jenis yang sama, kerana ia masih memerlukan hujah. Sebagai contoh, walaupun ia adalah mungkin untuk mengambil punca kuasa dua punca kuasa dua nombor, anda tidak boleh hanya menggunakan fungsi punca kuasa kepada fungsi punca kuasa dua dan mendapat hasil.

Tentang sifat-sifat konservatif

Satu lagi penyelesaian yang mungkin adalah sifat-sifat paradoks sifat penafian wujud di bawah apa-apa syarat yang diberikan, atau predikat dibentuk dengan baik. Sudah tentu, jika seseorang yang memang telah lama mengelak sifat metafizik kedua-dua elemen yang objektif dan bebas secara keseluruhan, jika kita mengambil nominalisme paradoks dapat dielakkan sepenuhnya.

Walau bagaimanapun, untuk menyelesaikan antinomy tidak perlu menjadi begitu melampau. Logik sistem aras tinggi dibangunkan Frege dan Russell, mengandungi apa yang dipanggil prinsip konsep, mengikut mana setiap formula terbuka tidak kira bagaimana kompleks wujud sebagai sebahagian daripada harta atau konsep sebagai contoh, hanya item-item yang sepadan formula. Mereka digunakan untuk sifat-sifat setiap set kemungkinan syarat atau predikat, tidak kira bagaimana kompleks ia.

Walau bagaimanapun, ia adalah mungkin untuk mengambil sifat metafizik yang lebih ketat, memberi hak untuk kewujudan objektif sifat mudah, termasuk, contohnya, seperti warna merah, ketegasan, kebaikan dan sebagainya. D. Anda juga boleh membiarkan sifat-sifat ini dikenakan kepada diri mereka sendiri, seperti kebaikan boleh berbuat baik.

Dan status yang sama untuk sifat-sifat kompleks boleh dinafikan, sebagai contoh, seperti "harta" sebagai mempunyai tujuh belas-kepala, dapat ditulis di bawah air dan sebagainya. D. Dalam kes ini, ada syarat yang telah ditetapkan tidak memenuhi harta, difahami sebagai berasingan elemen, yang mempunyai ciri-ciri tersendiri yang sedia ada. Oleh itu siapa yang boleh menafikan kewujudan sifat mudah menjadi-harta-yang-tidak-digunakan-untuk diri dan mengelakkan paradoks dengan menggunakan sifat-sifat metafizik yang lebih konservatif.

paradoks Russell: penyelesaian

Di atas ianya dinyatakan bahawa pada akhir hidupnya Frege sepenuhnya ditinggalkan logik set. Ini, sememangnya, satu penyelesaian untuk antinomy dalam bentuk set: penafian mudah dengan kewujudan unsur-unsur seperti keseluruhannya. Di samping itu, terdapat pilihan lain yang popular, asas-asas yang ditunjukkan di bawah.

Teori untuk pelbagai jenis

Seperti yang disebutkan tadi, Russell bermain untuk teori yang lebih lengkap mengenai jenis, yang akan berkongsi bukan sahaja ciri-ciri atau konsep yang jenis yang berbeza, tetapi juga ditetapkan. Russell set dikongsi pada kepelbagaian unit yang berasingan, kejamakan set objek berasingan, dan lain-lain set objek tidak dipertimbangkan, dan kejamakan set - .. Set. Banyak pernah menikmati jenis, membolehkan anda mempunyai sebagai anggota sendiri. Oleh itu tidak ada set semua set yang bukan ahli sendiri, kerana mana-mana set soalan mengenai sama ada sebagai ahli, adalah dengan sendirinya suatu jenis pelanggaran. Sekali lagi, isu di sini adalah untuk menerangkan set metafizik untuk menjelaskan asas-asas falsafah pembahagian ke dalam jenis.

stratifikasi

Pada tahun 1937, V. V. Kuayn telah menawarkan penyelesaian alternatif, dengan cara yang sama dengan teori jenis. Maklumat asas mengenainya adalah.

Memisahkan set elemen dan lain-lain. Diperbuat supaya andaian mencari tempat kemajmukan yang sentiasa tidak betul atau tidak bermakna. Set sahaja boleh disediakan apabila menentukan keadaan mereka tidak jenis pelanggaran. Oleh itu, bagi Quine, ungkapan "x bukan ahli x" adalah kenyataan yang bermakna tidak membayangkan kewujudan set semua unsur-unsur x memuaskan keadaan ini.

Dalam sistem ini set yang wujud untuk beberapa formula terbuka A jika dan hanya jika ia berstrata, t. E. Jika pembolehubah ditugaskan integer positif seperti yang bagi setiap kejadian ciri kemajmukan sebelum ia berubah-ubah yang diberikan unit tugasan kecil daripada pembolehubah, berikut selepas dia. paradoks ini Blok Russell, kerana formula yang digunakan untuk menentukan masalah yang ditetapkan, ada yang sama sebelum dan selepas tanda keahlian pembolehubah menjadikannya unstratified.

Tetapi ia masih belum menentukan sama ada sistem yang dihasilkan, yang Quine dipanggil "Foundations New logik matematik" konsisten.

penolakan

Suatu pendekatan yang berbeza diambil dalam teori Zermelo - Fraenkel (ZF). Di sini juga, menetapkan had ke atas kewujudan set. Sebaliknya, pendekatan "top-down" Russell dan Frege, yang pada mulanya menyangka bahawa untuk semua konsep, ciri-ciri, atau keadaan mungkin mencadangkan kewujudan set segala sesuatu dengan harta ini atau untuk memenuhi apa-apa syarat, dalam ZF-teori, segala-galanya bermula "dari bawah ke atas."

elemen-elemen individu set kosong dan membentuk satu set. Oleh itu, tidak seperti sistem yang lebih awal dan Russell Frege FIT bukan milik set semesta yang merangkumi semua unsur-unsur dan bahkan semua set. ZF menetapkan had yang ketat ke atas kewujudan set. Mungkin wujud hanya mereka yang mana ia jelas mengandaikan atau yang boleh dirumuskan melalui proses lelaran dan sebagainya. D.

Kemudian, daripada konsep abstrak set naif yang menyatakan bahawa elemen tertentu termasuk dalam set jika dan hanya jika ia memenuhi syarat-syarat dalam prinsip pemisahan yang digunakan DF, pemisahan atau "menyusun". Bukannya menganggap kewujudan set semua unsur-unsur yang tanpa pengecualian memenuhi syarat tertentu, bagi setiap set yang sedia ada Aussonderung menunjukkan kewujudan subset semua unsur dalam set asal yang memenuhi syarat.

Kemudian datang prinsip abstrak: jika set A wujud, maka, untuk semua x dalam A, x tergolong dalam subset A, yang memenuhi syarat jika dan hanya jika x memenuhi syarat C. Pendekatan ini mengambil ketetapan paradoks Russell, kerana kita tidak boleh hanya menganggap iaitu, set semua set yang bukan ahli mereka sendiri.

Mempunyai banyak set, anda boleh memilih atau dibahagikan kepada set, yang berada di dalam diri mereka sendiri, dan mereka yang tidak itu, tetapi kerana tidak ada set universal kita tidak terikat set semua set. Tanpa menganggap masalah ini menetapkan Russell percanggahan tidak dapat dibuktikan.

penyelesaian lain

Di samping itu, terdapat sambungan berikutnya atau pengubahsuaian penyelesaian ini, seperti teori garpu-jenis "Prinsip Matematik" pengembangan sistem "logik matematik" Quine, serta lebih perkembangan terkini dalam teori set, yang dibuat Bernays, Gödel dan von Neumann. Persoalan sama ada tindak balas kepada paradoks larut Bertrand Russell dijumpai, masih satu perkara perdebatan.