Apa yang nombor titik terapung?

Pembentangan nombor nyata (atau sebenar), di mana ia disimpan sebagai mantissa dan eksponen terapung nombor titik (mungkin titik, seperti adat di negara-negara berbahasa Inggeris). Walaupun begitu, jumlah disediakan dengan ketepatan relatif tetap dan berubah mutlak. Perwakilan yang paling kerap digunakan, diluluskan standard IEEE 754. operasi Matematik yang menggunakan nombor titik apung dilaksanakan dalam sistem pengkomputeran - kedua-dua perkakasan dan perisian.

Titik atau koma

Senarai terperinci pemisah perpuluhan mengenal pasti negara-negara dan anglofitsirovannye berbahasa Inggeris, di mana rekod nombor dipisahkan oleh sebahagian pecahan titik keseluruhan, kerana istilah negara-negara ini menggunakan nama titik terapung - "titik terapung". Di Persekutuan Rusia, bahagian pecahan seluruh tradisi, dipisahkan dengan koma, jadi ia merupakan konsep yang sama dari segi sejarah diiktiraf istilah "titik terapung". Walau bagaimanapun, hari ini dalam dokumentasi teknikal dan dalam kesusasteraan Rusia ia dibenarkan kedua-dua pilihan.

Istilah "titik terapung" berasal daripada fakta bahawa beberapa perwakilan positional ialah koma (perpuluhan biasa atau binari - komputer) yang boleh memuatkan mana-mana sahaja di kalangan nombor baris. ciri ini pasti menetapkan secara berasingan. Ini bermakna bahawa perwakilan nombor titik terapung boleh dianggap sebagai pelaksanaan komputer notasi eksponen. Kelebihan menggunakan apa-apa perwakilan format perwakilan tetap titik dan nombor integer yang pelbagai nilai tumbuh dengan ketara apabila bahawa ketepatan relatif kekal tidak berubah.

contoh

Jika koma dalam jumlah tetap, kemudian membakar hanya satu format. Sebagai contoh, memandangkan sedikit seramai enam dan dua digit di bahagian pecahan. Ini boleh dilakukan hanya dengan cara ini: 123.456,78. Format nombor gunanya memberi skop penuh untuk ungkapan terapung. Sebagai contoh, memandangkan yang sama lapan angka. pilihan rakaman boleh menjadi apa-apa jika pengaturcara tidak membuat dua digit sedikit sekali medan tambahan tugas, di mana ia akan merekodkan atlet yang biasanya 10, dan 0-16, dan pelepasan manakala jumlah akan sepuluh 8 + 2.

Beberapa penjelmaan rakaman, yang membolehkan anda untuk memformat nombor dengan titik terapung: 12345678000000000000; ,0000012345678; 123,45678; 1.2345678 dan sebagainya. Dalam format ini, ada juga unit ukuran kelajuan! Sebaliknya, prestasi sistem komputer yang merekodkan kelajuan di mana komputer menjalankan operasi di mana terdapat perwakilan nombor titik terapung. Prestasi ini diukur dari segi FLOP (operasi titik terapung sesaat, yang diterjemahkan kepada bilangan transaksi sesaat dengan titik terapung). Ini adalah unit asas dalam kelajuan sistem komputer pengukuran.

struktur

beberapa rekod dalam format titik terapung adalah perlu seperti berikut, memerhatikan urutan bahagian-bahagian yang wajib, kerana rekod ini adalah eksponen, yang menunjukkan nombor nyata sebagai mantissa dan perintah. Ia adalah perlu untuk mewakili nombor terlalu besar dan terlalu kecil, mereka adalah lebih mudah untuk dibaca. bahagian yang diperlukan: bilangan direkodkan (N), mantissa (M), susunan tanda (p) dan perintah itu (n). Dua ciri terakhir tanda. Oleh itu, N = ^M. n ^p. Supaya ditulis nombor titik apung. Contoh akan diubah.

1. Ia adalah perlu untuk merekodkan jumlah satu juta, supaya tidak hilang dalam sifar. 1000000 - ia adalah rakaman biasa, aritmetik. Komputer adalah seperti berikut: ^{1.0. 6 Oktober.} Iaitu, sepuluh hingga kuasa keenam - tiga tanda-tanda, yang patut dalam sebanyak enam sifar. Oleh itu berlaku perwakilan nombor titik tetap dan terapung di mana segera dapat mengesan perbezaan dalam ejaan.

2. Dan seperti sebilangan keras adalah 1435000000 (satu bilion 435,000) juga boleh ditulis hanya: ^1435. September ^10, sahaja. Begitu juga dengan tanda tolak boleh menulis apa-apa nombor. Itu sahaja, dan berbeza antara satu sama lain dengan nombor titik tetap dan terapung.

Tetapi ia lebih daripada bagaimana untuk menjadi rendah? Ya, terlalu mudah.

3. Sebagai contoh, sebagai tanda satu per sejuta? = 0.000001 ^1.0. 10 ^-6. Dipermudahkan dan menulis nombor, dan membacanya.

4. lebih rumit? Lima ratus 46 billionth: ,000000546 = ^546. 10 ^-9. Di sini. Lingkungan titik terapung adalah sangat luas.

bentuk

beberapa bentuk mungkin biasa atau normal. Normal - sentiasa menghormati ketepatan nombor titik terapung. Ia harus diperhatikan bahawa mantissa dalam borang ini, tanpa mengambil kira tanda, adalah separuh daripada jeda 0 1, maka 0 ⩽ a <1. Bukan dalam bentuk biasa jumlah kehilangan ketepatannya. Kelemahan bentuk biasa adalah bahawa banyak nombor boleh ditulis dalam cara yang berbeza, iaitu samar-samar. CONTOH rekod yang berbeza daripada jumlah yang sama: 0 = 0.0001, ^000.001. Februari ¹⁰ = ^0.00001. Januari ¹⁰ = ^0.0001. 10 ⁰ = ^0.001. 10 ^-1 = ^0.01. 10 ^-2, dan sebagainya boleh menjadi lebih. Itulah sebabnya komputer menggunakan notasi normal yang lain, di mana perpuluhan mantissa menganggap nilai unit (termasuk), dan dengan itu untuk sepuluh (tidak termasuk), dan dengan cara yang sama bilangan mantissa binari mempunyai nilai di antara satu (termasuk) untuk dua (tidak termasuk).

Jadi, 1 ⩽ a <10 ini -. Nombor perduaan dengan titik terapung, dan ini bentuk rakaman mana-mana nombor (kecuali sifar) menangkap cara yang unik. Tetapi juga terdapat kelemahan - ketidakupayaan untuk membayangkan jenis ini sifar. Oleh itu informatik memperuntukkan penggunaan nombor khas 0 tanda (bit). Integer sebahagian daripada (MSB) daripada mantissa dalam nombor perduaan kecuali sifar dalam bentuk normal adalah sama dengan 1 (unit tersirat). Rekod ini digunakan standard IEEE 754. Sistem nombor kedudukan, di mana asas adalah lebih daripada dua (pertigaan, terdiri dr empat dan sistem lain), hotel ini tidak dibeli.

sahih

nombor nyata dengan titik terapung dan biasanya hanya kerana ia tidak adalah satu-satunya, tetapi cara yang sangat mudah untuk mewakili nombor nyata, kerana ia, kompromi antara julat nilai dan ketepatan. Ini adalah mirip kepada notasi eksponen, hanya dilakukan pada komputer. Titik apung nombor - satu set bit individu dibahagikan kepada tanda (sign), perintah (eksponen) dan mantissa (mantis). Format yang paling biasa adalah nombor 754 titik apung IEEE sebagai satu set bit yang mengekod sebahagian daripada mantissa yang, bahagian lain - Ijazah dan satu bit menunjukkan tanda nombor: sifar - jika ia adalah positif, unit - jika nombor adalah negatif. Keseluruhan prosedur direkodkan oleh beberapa (kod-peralihan), dan mantissa - dalam bentuk normal, sebahagian pecahan - dalam sistem binari.

Setiap tanda - adalah bit tunggal yang menunjukkan tanda untuk semua nombor titik apung. Mantissa dan perintah - adalah integer, mereka, bersama-sama dengan tanda dan membuat perwakilan nombor titik terapung. Prosedur ini boleh dipanggil eksponen atau eksponen. Tidak semua nombor nyata boleh diwakili dalam komputer dalam maksud sebenar mereka, yang lain dibentangkan nilai anggaran. Satu pilihan yang lebih mudah - untuk mengemukakan nombor nyata dengan titik yang tetap, di mana sebenar dan seluruh bahagian tersebut akan disimpan berasingan. Kemungkinan besar, supaya bahagian integer sentiasa diperuntukkan bit X, dan pecahan - bit Y. Tetapi seni bina pemproses tidak mengetahui kaedah ini, tetapi kerana keutamaan diberikan kepada nombor titik terapung.

selain

Penambahan nombor titik terapung adalah agak mudah. Sehubungan dengan jumlah ketepatan tunggal standard IEEE 754 ia mempunyai sejumlah besar bit, jadi adalah lebih baik untuk beralih kepada contoh-contoh, dengan idea yang lebih baik untuk mengambil nombor titik apung yang paling kecil. Sebagai contoh, kedua-dua nombor - X dan Y.

Langkah-langkah adalah seperti berikut:

a) nombor mesti diwakili dalam bentuk normal. Ia adalah jelas salah satu yang tersembunyi. X = ^1.110. 2 ^2, dan Y = ^1,000. 2 ^0.

b) Teruskan proses komposisi hanya boleh menyamakan peserta, tetapi ia perlu untuk menulis semula nilai Y. Ia akan sesuai dengan nilai nombor normal, walaupun sebenarnya - unnormalizes.

Mengira perbezaan antara atlet Muda 2 - 0 = 2. Sekarang beralih mantissa untuk mengimbangi perubahan ini, iaitu, tambah 2 ke indeks penggal kedua, dengan itu bergerak unit tersembunyi koma pada dua titik ke kiri. 0.0100 ^diperolehi. Februari ^2. Ini akan menjadi sama dengan nilai sebelumnya Y, maka sudah ada Y '.

c) Sekarang anda perlu menambah sehingga jumlah mantissa X dan Y. diselaraskan

1.110 + 0.01 = 10.0

Pameran masih diwakili oleh parameter X, yang adalah sama dengan 2.

g) Jumlah yang diterima dalam langkah sebelum ini, beralih unit normal, maka anda perlu mengubah jumlah eksponen dan mengulangi. 10.0 dengan dua bit di sebelah kiri titik perpuluhan, jumlah kini perlu untuk menormalkan, iaitu, bergerak koma ke kiri dengan satu mata, dan eksponen, masing-masing meningkat sebanyak 1. Ia ternyata ^{1,000. 2 Mac.}

e) Ia adalah masa untuk menukar nombor titik terapung dalam sistem tunggal bait.

kesimpulan

Seperti yang anda lihat, tambah nombor-nombor ini tidak terlalu keras, apa-apa yang terapung koma. Kecuali, tentu saja, kecuali menjadikan jumlah eksponen lebih rendah di kalangan lebih (dalam contoh di atas, ia adalah Y untuk X), serta pemulihan status quo, iaitu isu pampasan - menggerakkan titik perpuluhan di sebelah kiri mantissa itu. Apabila tambahan telah digunakan, ia adalah sangat mungkin dan masih satu masalah - perenormirovanie dan pemangkasan sedikit jika bilangan mereka tidak sepadan dengan nombor untuk mewakilinya.

pendaraban

sistem binari menawarkan dua kaedah yang mendarab nombor titik apung. tugas ini boleh dilaksanakan oleh pendaraban, yang bermula dengan bit ketara kurangnya dan yang bermula dengan bit order tinggi di penggandaan. Kedua-dua kes mengandungi beberapa operasi secara berurutan menyusun produk separa. operasi ini dikawal dengan penambahan bit berganda. Jadi, jika salah satu cebisan pengganda adalah satu unit, jumlah produk separa multiplicand tumbuh dengan peralihan yang sepadan. Jika digit pengganda merangkak sifar, manakala multiplicand yang tidak ditambah.

Jika pendaraban dilakukan hanya dua nombor, hasil daripada nombor dalam jumlah yang tidak boleh melebihi bilangan digit yang terkandung dalam faktor-faktor, lebih daripada dua kali, dan untuk nombor besar sangat, sangat banyak. Jika didarab dengan beberapa nombor, produk risiko tidak muat pada skrin. Kerana bilangan bit mana-mana mesin digital adalah sangat terhad, dan ia memaksa untuk menghadkan maksimum dua kali bilangan penambah digit. Dan jika bilangan tempat adalah terhad, dalam produk tidak dapat tidak akan memperkenalkan kesilapan. Jika jumlah pengiraan adalah besar, kesilapan pertindihan, dan hasilnya akan meningkatkan ketepatan keseluruhan. Di sini, satu-satunya cara - untuk pusingan hasil darab, maka kesalahan itu kerja-kerja telah seli. Apabila operasi pendaraban, ia menjadi mungkin untuk pergi di luar grid digit, tetapi hanya oleh lebih muda, kerana terdapat had ke atas jumlah yang diwakili dalam bentuk tetap titik.

beberapa penjelasan

Lebih baik untuk memulakan dari awal. Cara yang paling biasa untuk mewakili nombor - nombor talian sebagai integer, di mana koma yang tersirat di akhir sangat. Rentetan ini boleh mana-mana panjang, tetapi koma berdiri di tempat yang betul untuk meletakkan ia, memisahkan integer dari bahagian pecahan itu. Format penyampaian sistem tetap titik semestinya meletakkan syarat-syarat tertentu kepada lokasi titik perpuluhan. notasi saintifik menggunakan pandangan normal suatu taraf perwakilan nombor. Ia aqn {\ displaystyle aq ^ {n }} aq n. Di sini {\ displaystyle ^a}, dan ia dipanggil lace mantissa itu. Hanya kira-kira ia telah berkata bahawa 0 ⩽ a jelas: n {/ displaystyle n} n - pengembang integer, dan ^q {/ q displaystyle} q - juga bilangan bulat, yang merupakan asas radiks (surat yang sering 10). Mantissa meninggalkan koma selepas angka pertama, yang tidak sifar, tetapi rakaman lagi dipindahkan kepada maklumat pada nilai semasa nombor.

nombor titik apung ditulis hampir sama dengan semua nombor kemasukan standard yang jelas, hanya eksponen dan mantissa direkodkan secara berasingan. Lepas untuk yang sama dan dalam format normal - titik tetap, yang dihiasi dengan angka pertama yang penting. Hanya titik terapung digunakan terutamanya dalam komputer, iaitu, dalam perwakilan elektronik di mana sistem ini tidak perpuluhan dan binari, di mana walaupun mantissa Denormalize titik disusun semula - kini ia adalah sebelum angka pertama, maka sebelum, tidak selepas itu, di mana bahagian integer pada dasarnya, tidak boleh. Sebagai contoh, sistem perpuluhan kita sendiri akan memberikan sembilan sistem binari beliau untuk kegunaan sementara. Dan yang akan merakam dan mantissa terapung mata seperti ini: +1001000 ... 0, dan ia dan indeks 0 ... 0100. Tetapi sistem perpuluhan tidak mengemukakan pengiraan kompleks itu, yang mungkin dalam binari, menggunakan bentuk titik terapung.

aritmetik lama

Dalam komputer elektronik telah terbina dalam pakej perisian, di mana diperuntukkan bagi mantissa dan eksponen daripada jumlah memori perisian dinyatakan, hanya dihadkan oleh saiz memori komputer. Ia kelihatan seperti aritmetik yang panjang, iaitu, operasi mudah pada nombor yang melaksanakan komputer. Itu semua sama - penolakan dan penambahan, pembahagian dan pendaraban, fungsi asas dan pembinaan akar. Tetapi bilangan yang sangat berbeza, keupayaan mereka adalah lebih besar daripada panjang perkataan mesin. Pelaksanaan operasi ini tidak adalah dengan perkakasan dan perisian, tetapi ia digunakan secara meluas perkakasan asas untuk bekerja dengan nombor lebih kecil pesanan. Terdapat lebih dan mengira, di mana nombor panjang hanya dihadkan oleh keupayaan memori - aritmetik ketepatan sewenang-wenangnya. A aritmetik lama digunakan dalam pelbagai bidang.

1. Untuk menyusun kod (pemproses, pengawal mikro dengan kedalaman bit rendah - daftar yang 10-bit dan lapan-bit panjang perkataan, ia tidak cukup untuk mengendalikan maklumat daripada analog-ke-digital (analog-ke-digital converter), dan oleh itu tidak boleh melakukannya tanpa aritmetik tersebut.

2. Ia juga aritmetik yang panjang digunakan untuk kriptografi, di mana ia adalah perlu untuk memastikan ketepatan hasil daripada pengeksponenan atau pendaraban untuk ^10.309. aritmetik integer digunakan modulo m - nombor asli yang besar, dan tidak semestinya mudah.

3. Perisian untuk pembiaya dan ahli matematik, juga, bukan tanpa aritmetik yang panjang, kerana satu-satunya cara untuk mengesahkan keputusan pengiraan di atas kertas - dengan bantuan komputer, memastikan ketepatan tinggi nombor. titik terapung mereka boleh melibatkan apa-apa bilangan pelepasan tersebut. Tetapi pengiraan kejuruteraan dan kerja-kerja saintis memerlukan pengiraan program campur tangan selalu, kerana ia adalah sangat sukar untuk membuat data input tanpa membuat kesilapan. mereka biasanya lebih panjang daripada keputusan penggenapan.

Berjuang dengan kesilapan

Apabila beberapa operasi di mana titik terapung, ia adalah amat sukar untuk menilai ketepatan keputusan. Belum lagi dicipta memuaskan semua teori matematik yang akan membantu untuk menyelesaikan isu ini. Tetapi kesilapan integer menilai dengan mudah. Kemungkinan menghilangkan ketidaktepatan di permukaan - hanya menggunakan hanya jumlah tetap titik. Sebagai contoh, program kewangan yang dibina di atas prinsip ini. Walau bagaimanapun, terdapat lebih mudah: bilangan yang diperlukan digit selepas titik perpuluhan dikenali terlebih dahulu.

aplikasi lain tidak terhad kepada, kerana anda tidak boleh bekerja sama ada dengan jumlah yang sangat kecil atau sangat besar. Oleh itu, apabila anda bekerja sentiasa mengambil kira bahawa mungkin ada yang tidak tepat, dan kerana terbitan keputusan ia adalah perlu untuk pusingan. Selain itu, pembundaran automatik sering kekurangan tindakan, dan oleh itu Penggenapan ditakrifkan secara khusus. Sangat berbahaya dalam hal ini, operasi perbandingan. Ada juga menganggarkan jumlah kesilapan masa depan adalah amat sukar.