Konsep asas teori kebarangkalian. Undang-undang teori kebarangkalian

Ramai orang, apabila berhadapan dengan konsep "teori kebarangkalian", takut, berfikir bahawa ia adalah sesuatu yang tidak boleh diterima, sangat sukar. Tetapi ia sebenarnya tidak begitu tragis. Hari ini kita melihat konsep asas teori kebarangkalian, belajar untuk menyelesaikan masalah dengan contoh konkrit.

sains

Apa yang sedang mengkaji satu cabang matematik sebagai "teori kebarangkalian"? Ia nota pola peristiwa rawak dan pembolehubah. Buat kali pertama isu Prihatin Para saintis di abad kelapan belas, apabila dikaji perjudian. konsep asas teori kebarangkalian - acara. Ia adalah apa-apa fakta yang dinyatakan oleh pengalaman atau pemerhatian. Tetapi apa yang pengalaman? Satu lagi konsep asas teori kebarangkalian. Ia bermakna bahawa ini sebahagian daripada keadaan tidak sengaja dicipta, dan dengan tujuan. Berhubung dengan pengawasan, terdapat pengkaji sendiri tidak mengambil bahagian dalam pengalaman, tetapi hanya seorang saksi kepada peristiwa-peristiwa ini, ia tidak mempunyai kesan ke atas apa yang berlaku.

acara

Kita mengetahui bahawa konsep asas teori kebarangkalian - majlis itu, tetapi tidak menganggap pengelasan. Kesemua mereka dibahagikan kepada kategori berikut:

• Boleh dipercayai.
• Mustahil.
• Rawak.

Tidak kira acara tersebut, yang sedang menonton atau diwujudkan perjalanan eksperimen, mereka dipengaruhi oleh pengelasan ini. Kami menawarkan setiap jenis bertemu secara berasingan.

peristiwa tertentu

Ini adalah fakta yang membuat set yang diperlukan aktiviti. Dalam usaha untuk lebih memahami intipati, ia adalah lebih baik untuk memberi beberapa contoh. Ini tunduk kepada undang-undang dan fizik, kimia, ekonomi, dan matematik yang lebih tinggi. teori kebarangkalian termasuk seperti satu konsep yang penting sebagai satu peristiwa penting. Berikut adalah beberapa contoh:

• Kami bekerja dan menerima ganjaran dalam bentuk gaji.
• Juga lulus peperiksaan, lulus pertandingan untuk ia menerima ganjaran dalam bentuk kemasukan ke institusi pendidikan.
• Kami telah melabur wang dalam bank, mendapatkan mereka kembali jika perlu.

peristiwa itu adalah benar. Jika kita telah memenuhi semua syarat yang perlu, pastikan untuk mendapatkan hasil yang diharapkan.

acara mustahil

Sekarang kita mempertimbangkan unsur-unsur teori kebarangkalian. Kami menawarkan untuk pergi ke penjelasan dalam jenis-jenis acara - iaitu mustahil. Untuk memulakan menetapkan peraturan yang paling penting - kebarangkalian acara mustahil adalah sifar.

Dari rumusan ini tidak boleh derogated dalam menyelesaikan masalah. Untuk menggambarkan contoh peristiwa itu:

• Air beku pada suhu ditambah sepuluh (mustahil).
• Ketiadaan bekalan elektrik tidak menjejaskan pengeluaran (sebagai mustahil seperti dalam contoh sebelumnya).

Lagi contoh-contoh yang diberikan tidak perlu, seperti yang dinyatakan di atas dengan jelas mencerminkan intipati kategori ini. acara mustahil tidak pernah berlaku semasa eksperimen dalam apa jua keadaan.

peristiwa rawak

Dengan mengkaji unsur-unsur teori kebarangkalian, perhatian khusus harus diberikan kepada jenis yang diberikan acara. Mereka ini adalah orang yang belajar ilmu pengetahuan ini. Hasil daripada pengalaman sesuatu yang boleh berlaku atau tidak. Di samping itu, ujian yang beberapa kali tanpa had boleh dijalankan. contoh ketara termasuk:

• Melambungkan duit syiling - ia adalah satu pengalaman, atau ujian, kehilangan rajawali - acara ini.
• Menarik bola dari beg secara membuta tuli - ujian, telah ditangkap bola merah - acara ini dan sebagainya.

contoh itu boleh menjadi jumlah yang tidak terhad, tetapi, secara umum, adalah untuk difahami. Untuk meringkaskan dan sistematik pengetahuan yang diperolehi mengenai kejadian-kejadian jadual. kajian teori kebarangkalian hanya yang baik-akhir semua dibentangkan.

undang-undang

teori kebarangkalian - sains yang mengkaji kemungkinan kehilangan mana-mana acara. Seperti yang lain, ia mempunyai beberapa peraturan. Undang-undang berikut teori kebarangkalian:

• Penumpuan urutan pembolehubah rawak.
• Undang-undang jumlah yang besar.

Apabila mengira kemungkinan kompleks yang boleh digunakan acara mudah kompleks untuk mencapai keputusan yang lebih mudah dan cepat cara. Perlu diingatkan bahawa undang-undang teori kebarangkalian mudah dibuktikan dengan bantuan beberapa teorem. Kami mencadangkan untuk mula untuk berkenalan dengan undang-undang yang pertama.

Penumpuan urutan pembolehubah rawak

Ambil perhatian bahawa penumpuan beberapa jenis:

• Urutan pembolehubah rawak penumpuan dalam kebarangkalian.
• Hampir mustahil.
• RMS penumpuan.
• Penumpuan dalam pengedaran.

Jadi, dengan cepat, ia adalah amat sukar untuk memahami intipati. Berikut adalah definisi yang akan membantu untuk memahami topik ini. Untuk bermula dengan pandangan pertama. urutan yang dipanggil penumpuan dalam kebarangkalian, jika syarat-syarat berikut: n menghampiri infiniti, bilangan dicari oleh urutan adalah lebih besar daripada sifar dan berhampiran dengan unit.

Pergi ke paparan seterusnya, hampir pasti. Mereka mengatakan bahawa jujukan menumpu hampir pasti ke pembolehubah rawak dengan n cenderung infiniti, dan R, yang cenderung kepada nilai yang rapat dengan perpaduan.

Jenis seterusnya - penumpuan RMS. Apabila menggunakan penumpuan SC-pembelajaran proses rawak vektor mengurangkan kepada kajian proses rawak koordinat.

Adalah jenis yang terakhir, mari kita lihat secara ringkas dan untuk pergi terus kepada penyelesaian masalah. Penumpuan dalam pengedaran mempunyai nama lain - "lemah", kemudian menjelaskan mengapa. penumpuan lemah - adalah penumpuan fungsi pengedaran di semua pintu kesinambungan fungsi taburan had.

Pastikan anda menyimpan janji: penumpuan lemah adalah berbeza daripada semua di atas bahawa pemboleh ubah rawak tidak ditakrifkan pada ruang kebarangkalian. Ini tidak mustahil kerana keadaan ini dibentuk secara eksklusif menggunakan fungsi pengedaran.

Hukum nombor besar

pembantu besar dalam bukti undang-undang akan teorem teori kebarangkalian, seperti:

• ketidaksamaan Chebyshev.
• teorem Chebyshev ini.
• Umum teorem Chebyshev.
• Markov teorem.

Jika kita menganggap semua teorem ini, maka isu itu mungkin mengambil masa beberapa puluh lembaran. Kami mempunyai tugas utama - adalah aplikasi teori kebarangkalian dalam amalan. Kami menawarkan anda sekarang dan melakukannya. Tetapi sebelum kita mempertimbangkan aksiom teori kebarangkalian, mereka adalah rakan kongsi utama dalam menyelesaikan masalah.

aksiom

Dari yang pertama, kita sudah melihat, apabila bercakap mengenai acara ini mustahil. Mari kita ingat: kebarangkalian sesuatu peristiwa mustahil adalah sifar. Sebagai contoh, kita memberikan yang sangat jelas dan tidak dapat dilupakan: salji jatuh pada suhu udara tiga puluh darjah Celsius.

Yang kedua adalah seperti berikut: a peristiwa tertentu berlaku dengan kebarangkalian perpaduan. Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana ia ditulis dengan bantuan bahasa matematik: P (B) = 1.

Ketiga: Satu peristiwa rawak boleh berlaku atau tidak, tetapi kemungkinan adalah sentiasa berbeza dari sifar kepada satu. Semakin dekat ia adalah untuk perpaduan, lebih banyak peluang; jika nilai adalah hampir sifar, kebarangkalian adalah sangat rendah. Kami menulis ini dalam bahasa matematik: 0

Pertimbangkan, aksiom keempat yang terakhir, iaitu: jumlah kebarangkalian dua peristiwa adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka. Menulis istilah matematik: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksiom teori kebarangkalian - ia adalah satu peraturan mudah yang tidak akan sukar untuk diingati. Mari kita cuba untuk menyelesaikan beberapa masalah, berdasarkan pengetahuan telah diperolehi.

tiket loteri

Pertama, pertimbangkan contoh yang paling mudah - loteri. Bayangkan anda membeli tiket loteri untuk nasib baik. Apakah kebarangkalian bahawa anda akan menang sekurang-kurangnya dua puluh Rubles? Jumlah peredaran terlibat dalam seribu tiket, salah satu yang mempunyai hadiah lima ratus Rubles, 1000 Rubles, dua puluh lima puluh Rubles, dan seratus - lima. Tugas teori kebarangkalian berdasarkan bagaimana untuk mencari jalan untuk nasib. Kini bersama-sama kita menganalisis keputusan di atas pandangan Tugas.

Jika kita menunjukkan dengan A hadiah lima ratus Rubles, maka kebarangkalian A adalah sama dengan 0.001. Bagaimana kita dapat? Hanya perlu bilangan tiket yang "bertuah" dibahagikan dengan jumlah bilangan (dalam kes ini: 1/1000).

In - keuntungan sebanyak seratus Rubles, kebarangkalian akan sama dengan 0.01. Sekarang kita telah bertindak dengan cara yang sama seperti tindakan terakhir (10/1000)

C - ganjaran adalah dua puluh Rubles. Cari kebarangkalian, ia adalah sama dengan 0.05.

Sepanjang tiket kita tidak berminat, kerana hadiah wang tunai mereka adalah kurang daripada yang dinyatakan dalam keadaan. Sapukan aksiom keempat: Kebarangkalian untuk menang sekurang-kurangnya dua puluh Rubles ialah P (A) + P (B) + P (C). Surat P menandakan kebarangkalian asal acara ini, kami dalam langkah sebelumnya telah mendapati mereka. Ia kekal hanya untuk meletakkan data yang diperlukan, sambutan yang kami mendapat 0,061. Nombor ini akan menjadi jawapan kepada persoalan pekerjaan.

dek Kad

Masalah teori kebarangkalian, ada juga yang lebih kompleks, misalnya, mengambil kerja seterusnya. Sebelum dek anda tiga puluh enam kad. Tugas anda - untuk menarik dua kad berturut-turut tanpa bercampur longgokan, kad pertama dan kedua perlu menjadi ace, saman tidak perkara itu.

Untuk memulakan, cari kebarangkalian bahawa kad pertama adalah hampir-hampir, jurang ini dengan empat dan tiga puluh enam. Mengetepikannya. Kami mendapatkan kad kedua adalah ace dengan kebarangkalian 335. Kebarangkalian peristiwa kedua bergantung kepada kad kita menarik yang pertama, kami berminat untuk, ia adalah hampir-hampir atau tidak. Dari ini, ia mengikuti bahawa sekiranya bergantung kepada acara A.

Langkah seterusnya kita dapati kebarangkalian pelaksanaan serentak, iaitu, darab A dan B. Kerja mereka adalah seperti berikut: kebarangkalian satu peristiwa didarab dengan kebarangkalian bersyarat bagi yang lain, kami mengira, dengan anggapan bahawa acara pertama telah berlaku, iaitu, kad pertama kita ditarik hampir-hampir.

Dalam usaha untuk menjadi semua jelas, memberi penetapan elemen seperti kebarangkalian bersyarat bagi acara tersebut. Ia dikira dengan menganggap bahawa peristiwa A berlaku. Ia dikira seperti berikut: P (B / A).

Kami melanjutkan penyelesaian untuk masalah kita: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) atau P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). kebarangkalian adalah (4/36) _* ((3/35) / (4/36) dikira dengan pembulatan ke seratus yang terdekat Kami ada: .. 0.11 _* (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0, 82 = 0.09. kebarangkalian yang kita menarik keluar dua ace berturut-turut adalah bersamaan dengan 9/100. nilai adalah sangat kecil, ia mengikuti bahawa kebarangkalian berlakunya peristiwa adalah sangat rendah.

bilik dilupakan

Kami menawarkan membuat beberapa pilihan pekerjaan yang mengkaji teori kebarangkalian. Contoh penyelesaian beberapa yang anda telah lihat dalam artikel ini, cuba untuk menyelesaikan masalah berikut: Budak itu terlupa nombor telefon untuk digit terakhir sahabatnya, tetapi oleh kerana panggilan itu amat penting, maka mula meningkat setiap seterusnya. Kita perlu mengira kebarangkalian bahawa beliau akan memanggil tidak lebih daripada tiga kali. penyelesaian yang paling mudah untuk masalah ini, jika anda tahu kaedah-kaedah, undang-undang dan aksiom teori kebarangkalian.

Sebelum anda melihat penyelesaian, cuba untuk menyelesaikan sendiri. Kita tahu bahawa angka mereka ini boleh menjadi dari sifar hingga sembilan, untuk sejumlah sepuluh nilai. Rata kebarangkalian diperlukan adalah 1/10.

Seterusnya, kita perlu mempertimbangkan pilihan untuk asal-usul peristiwa, mari kita andaikan bahawa budak lelaki itu fikirkan betul dan memenangi hak, kebarangkalian peristiwa tersebut adalah sama dengan 1/10. Pilihan kedua: slip panggilan pertama, dan sasaran kedua. Kami mengira kebarangkalian peristiwa itu: 9/10 didarab dengan 1/9 pada akhirnya kita mendapatkan 1/10. Pilihan ketiga: panggilan pertama dan kedua ternyata menjadi alamat yang salah, hanya anak ketiga adalah di mana dia mahu. Mengira kebarangkalian peristiwa itu: 9/10 didarab dengan 8/9 dan 1/8, kami mendapatkan hasil daripada 1/10. pilihan lain kepada keadaan masalah yang kita tidak berminat, ini kekal untuk kita untuk meletakkan keputusan ini, pada akhirnya kita mempunyai 3/10. Jawapan: Kebarangkalian bahawa kanak-kanak yang akan memanggil tidak lebih daripada tiga kali, sama dengan 0.3.

Kad dengan nombor

Sebelum anda sembilan kad, setiap yang ditulis nombor dari satu hingga sembilan, nombor-nombor itu tidak berulang. Mereka dimasukkan ke dalam kotak dan kacau sehingga sebati. Anda perlu mengira kebarangkalian bahawa

• dilancarkan nombor genap;
• dua digit.

Sebelum meneruskan keputusan menetapkan bahawa m - adalah bilangan kes berjaya, dan n - ialah jumlah pilihan. Biarlah kami mencari kebarangkalian bahawa nombor adalah genap. Tidak sukar untuk mengira bahawa walaupun nombor empat, dan ia adalah m kita, semua sembilan pilihan yang mungkin, iaitu, m = 9. Maka kebarangkalian adalah sama dengan 0.44 atau 4/9.

Kami menganggap kes kedua, bilangan varian sembilan, dan hasil yang berjaya tidak boleh sama sekali, iaitu, m adalah sifar. Kebarangkalian bahawa kad yang memanjang akan mengandungi nombor dua digit, sebagai sifar.