Siri Fourier: sejarah dan pengaruh mekanisme matematik untuk pembangunan sains

siri Fourier - pandangan ini sewenang-wenangnya dipilih fungsi untuk tempoh yang berturut-turut. Secara umum, penyelesaian ini dipanggil unsur pengembangan secara ortogon. Pengembangan fungsi dalam siri Fourier agak alat yang berkuasa untuk menyelesaikan pelbagai masalah kerana sifat transformasi dalam integrasi, pembezaan, dan juga perubahan dalam ungkapan hujah dan kekusutan.

Seseorang yang tidak biasa dengan matematik yang lebih tinggi, dan juga dengan kerja-kerja saintis Fourier Perancis, kemungkinan besar tidak akan memahami apa yang "pangkat" dan apa yang mereka lakukan. Namun perubahan ini agak tegas memasuki kehidupan kita. Ia digunakan bukan sahaja matematik, tetapi juga ahli fizik, ahli kimia, doktor, ahli astronomi, ahli seismologi, kelautan dan lain-lain. Marilah kita melihat dengan lebih dekat dengan kerja-kerja ahli sains Perancis yang besar yang membuat penemuan itu, mendahului zamannya.

lelaki itu dan jelmaan Fourier

siri Fourier adalah salah satu kaedah (bersama-sama dengan analisis dan lain-lain) bagi jelmaan Fourier. Proses ini berlaku setiap kali seseorang mendengar apa-apa bunyi. telinga kami secara automatik menukarkan gelombang bunyi. pergerakan ayunan zarah asas dalam medium elastik berkembang dalam siri ini (spektrum) Nilai jumlah berturut-turut untuk nada ketinggian yang berbeza. Seterusnya, otak menukarkan data ini ke dalam bunyi biasa untuk kita. Semua ini adalah sebagai tambahan kepada keinginan atau kesedaran sendiri kita, tetapi untuk memahami proses yang mengambil masa beberapa tahun untuk belajar matematik yang lebih tinggi.

Baca lebih lanjut mengenai jelmaan Fourier

Jelmaan Fourier boleh dijalankan analisis, angka dan kaedah lain. siri Fourier adalah proses angka untuk menguraikan apa-apa proses ayunan - dari pasang-surut lautan dan gelombang cahaya untuk kitaran solar (dan objek astronomi yang lain) aktiviti. Dengan menggunakan teknik matematik, ia adalah mungkin untuk membuka majlis itu, mewakili mana-mana proses ayunan dalam beberapa komponen sinusoidal yang pergi dari minimum kepada maksimum dan sebaliknya. Jelmaan Fourier adalah fungsi yang menerangkan fasa dan amplitud sinusoids sepadan dengan frekuensi tertentu. Proses ini boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang sangat kompleks yang menerangkan proses dinamik yang berlaku di bawah tindakan haba, cahaya atau tenaga elektrik. Juga, siri Fourier yang digunakan untuk membezakan komponen DC dalam bentuk gelombang kompleks, sehingga memungkinkan untuk mentafsir dengan betul pemerhatian eksperimen dalam bidang perubatan, kimia dan astronomi.

maklumat sejarah

Bapa pengasas teori ini adalah ahli matematik Perancis Zhan Batist Zhozef Fure. Namanya kemudian dan transformasi ini telah dipanggil. Pada mulanya, para saintis menggunakan teknik untuk mengkaji dan menjelaskan mekanisme kekonduksian haba - penyebaran haba dalam pepejal. Fourier mencadangkan bahawa pengedaran tidak teratur awal gelombang haba boleh dihuraikan kepada sinusoid mudah, setiap yang akan mempunyai minimum suhu dan maksimum, serta fasa. Oleh itu setiap komponen sedemikian diukur dari minimum untuk versa maksimum dan maksiat. Fungsi matematik yang menerangkan puncak atas dan bawah keluk, serta fasa setiap harmonik, yang dikenali sebagai jelmaan Fourier taburan suhu bersuara. Pengarang teori dikurangkan fungsi taburan keseluruhan yang sukar untuk penerangan matematik, dalam yang sangat mudah untuk mengendalikan beberapa fungsi berkala sinus dan kosinus, dalam jumlah memberikan pengagihan awal.

Prinsip penukaran dan pandangan sezaman

Sezaman dengan ahli sains - ahli matematik terkemuka abad kesembilan belas - tidak menerima teori ini. Bantahan utama adalah kelulusan Fourier bahawa fungsi selanjar menerangkan garis lurus atau lengkung koyak, ia boleh diwakili sebagai jumlah ungkapan sinusoidal yang berterusan. Sebagai contoh, mempertimbangkan "langkah" Heaviside: nilai sifar di sebelah kiri jurang dan satu di sebelah kanan. Fungsi ini menerangkan pergantungan arus elektrik ke atas pembolehubah masa untuk rantaian penutupan itu. teori kontemporari pada masa itu, tidak pernah mengalami keadaan seperti itu, apabila ungkapan tidak berterusan akan digambarkan oleh gabungan, fungsi biasa yang berterusan, seperti eksponen, sinus, linear atau kuadratik.

Apa peduli ahli matematik Perancis dalam teori Fourier?

Lagipun, jika ahli matematik adalah betul untuk berhujah, maka, menjumlahkan siri Fourier trigonometri tak terhingga, ia adalah mungkin untuk mendapatkan gambaran yang tepat bagi langkah bersuara, walaupun ia mempunyai satu set langkah-langkah yang sama. Pada awal abad kesembilan belas, kenyataan ini seolah-olah tidak masuk akal. Tetapi di sebalik semua keraguan, ramai ahli matematik telah memperluaskan skop kajian fenomena ini, bergerak di luar kajian pengaliran haba. Walau bagaimanapun, kebanyakan ahli-ahli sains terus menderita soalan: "Bolehkah jumlah siri gelombang sinus menumpu kepada nilai sebenar fungsi selanjar"

Penumpuan siri Fourier: contoh

Isu penumpuan meningkat setiap kali anda perlu penjumlahan siri tak terhingga nombor. mempertimbangkan contoh klasik untuk memahami fenomena ini. Boleh anda pernah mencapai dinding, jika setiap langkah adalah separuh yang lama? Katakan anda adalah dua meter dari matlamat, langkah pertama lebih dekat kepada kira-kira separuh jalan, seterusnya - tanda dari tiga suku, dan selepas kelima, anda akan mengatasi hampir 97 peratus dari jalan. Walau bagaimanapun, tidak kira berapa banyak langkah-langkah yang telah anda lakukan tidak, sasaran yang dimaksudkan anda mencapai dalam erti matematik yang ketat. Menggunakan pengiraan berangka, kita boleh membuktikan bahawa pada akhirnya mungkin lebih dekat dengan jarak diberi sewenang-wenangnya kecil. Ini adalah bersamaan dengan bukti yang menunjukkan bahawa jumlah nilai separuh, satu perempat, dan sebagainya. E. Akan cenderung kepada perpaduan.

Isu penumpuan: kedatangan kedua, atau surat cara Lord Kelvin

Berulang kali soalan itu timbul pada abad kesembilan belas lewat, apabila siri Fourier telah cuba menggunakan untuk meramalkan keamatan pasang surut. Pada masa itu, Lord Kelvin telah mencipta peranti adalah komputer analog yang membenarkan pelayar tentera laut dan monitor saudagar marin adalah satu fenomena semula jadi. Ini set mekanisme khusus fasa dan amplitud ketinggian jadual pasang surut dan saat-saat masa sama, berhati-hati diukur di pelabuhan sepanjang tahun. Setiap parameter adalah sinusoidal ketinggian ungkapan komponen air pasang dan merupakan salah satu komponen biasa. Keputusan pengukuran adalah input kepada peranti pengkomputeran Lord Kelvin, mensintesis keluk yang meramalkan ketinggian air sebagai fungsi pada tahun berikutnya. Sangat tidak lama lagi, keluk ini telah disediakan untuk semua pelabuhan di dunia.

Dan jika proses ini akan dipecahkan fungsi selanjar?

Pada masa itu, ia seolah-olah jelas bahawa peranti meramalkan gelombang pasang surut, dengan banyak unsur akaun boleh mengira bilangan besar fasa dan amplitud, dan menyediakan ramalan yang lebih tepat. Walau bagaimanapun, ternyata bahawa corak ini tidak dipatuhi dalam kes-kes di mana ungkapan pasang surut yang akan disintesis, yang terkandung peningkatan mendadak, iaitu, adalah tidak berterusan. Sekiranya alat untuk memasukkan data dari jadual mata masa, ia mengira beberapa pekali Fourier. Pulih fungsi asal kerana komponen sinusoidal (mengikut pekali dijumpai). Percanggahan antara asal dan ungkapan yang dibina semula boleh diukur pada bila-bila. Apabila pengiraan berulang dan perbandingan boleh dilihat bahawa nilai ralat yang paling besar tidak dikurangkan. Walau bagaimanapun, mereka setempat di rantau ini sepadan dengan titik pecah, dan mana-mana tempat lain cenderung kepada sifar. Pada tahun 1899, keputusan ini telah disahkan secara teori Joshua Willard Gibbs Universiti Yale.

Penumpuan siri Fourier dan pembangunan matematik secara keseluruhan

analisis Fourier tidak terpakai kepada ungkapan yang mengandungi nombor terhingga pecah pada selang tertentu. Dalam siri Fourier umum, jika fungsi asal diwakili oleh hasil daripada ukuran fizikal yang sebenarnya, sentiasa bersatu. Soalan penumpuan proses ini untuk kelas tertentu fungsi telah membawa kepada cawangan baru matematik, seperti teori fungsi umum. Ia dikaitkan dengan nama-nama seperti Schwartz, J .. Mikusiński dan Kuil J.. Di bawah teori ini, asas teori yang jelas dan tepat untuk ungkapan itu telah ditubuhkan sebagai fungsi delta Dirac (ia menerangkan kawasan kawasan tunggal, tertumpu di kawasan kejiranan kecil daripada titik) dan "langkah" Heaviside. Melalui kerja ini siri Fourier menjadi digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan masalah yang melibatkan konsep intuitif: caj titik, titik massa, dwikutub magnet, dan beban tumpu pada rasuk.

kaedah Fourier

siri Fourier, selaras dengan prinsip-prinsip gangguan, bermula dengan penguraian bentuk kompleks menjadi mudah. Sebagai contoh, perubahan dalam aliran haba kerana laluan melalui pelbagai halangan haba bahan penebat bentuk yang tidak teratur atau menukar permukaan tanah - gempa bumi, perubahan dalam orbit badan cakerawala - pengaruh planet. Biasanya, persamaan ini menerangkan mudah sistem rendah klasik diselesaikan bagi setiap panjang gelombang individu. Fourier telah menunjukkan bahawa penyelesaian yang mudah dapat disimpulkan sebagai lebih tugas yang kompleks. Dalam bahasa matematik, Fourier siri - metodologi bagi penyerahan jumlah ungkapan harmonik - kosinus dan gelombang sinus. Oleh itu, analisis ini juga dikenali dengan nama "analisis harmonik".

siri Fourier - satu kaedah yang sesuai untuk "zaman komputer"

Sebelum penciptaan teknologi komputer kaedah Fourier adalah senjata yang terbaik dalam senjata saintis yang bekerja dengan alam semula jadi gelombang dunia kita. siri Fourier dalam bentuk kompleks membolehkan anda bukan sahaja untuk menyelesaikan masalah yang mudah yang bersetuju dengan mengarahkan pemakaian undang-undang Newton mekanik, tetapi juga persamaan asas. Kebanyakan penemuan sains Newtonian abad kesembilan belas menjadi mungkin hanya disebabkan oleh kaedah Fourier.

siri Fourier hari ini

Dengan perkembangan Fourier mengubah komputer telah meningkat ke tahap yang baru. Teknik ini berakar umbi dalam hampir semua bidang sains dan teknologi. Sebagai contoh, audio digital dan video. pelaksanaannya telah dibuat mungkin hanya terima kasih kepada teori yang dibangunkan oleh ahli matematik Perancis awal abad kesembilan belas. Oleh itu, siri Fourier dalam bentuk kompleks telah dibenarkan untuk membuat satu kejayaan dalam kajian angkasa lepas. Di samping itu, ia telah memberi kesan kepada kajian fizik bahan semikonduktor dan plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, seismologi.

siri trigonometri Fourier

Dalam matematik, siri Fourier adalah satu cara yang mewakili fungsi kompleks sewenang-wenangnya sebagai sejumlah lebih mudah. Dalam kes-kes umum, bilangan ungkapan mungkin tak terhingga. Bilangan yang lebih besar yang dikira dalam pengiraan, lebih tepat keputusan akhir yang diperoleh. Penggunaan yang paling biasa kosinus trigonometri mudah atau fungsi sinus. Dalam kes ini, siri Fourier dipanggil trigonometri, dan keputusan ungkapan itu - penguraian harmonik. Kaedah ini memainkan peranan yang penting dalam matematik. Pertama sekali, siri trigonometri menyediakan satu cara untuk imej, serta kajian fungsi, ia adalah unit utama teori. Di samping itu, ia membolehkan kita untuk menyelesaikan beberapa masalah dalam fizik matematik. Akhir sekali, teori ini telah menyumbang kepada pembangunan analisis matematik, ia menimbulkan beberapa cawangan yang sangat penting dalam sains matematik (teori kamiran, teori fungsi berkala). Di samping itu, titik permulaan bagi pembangunan berikut teori: set, fungsi pemboleh ubah nyata, analisis fungsian, dan juga meletakkan asas bagi analisis harmonik.