Nombor nyata dan harta mereka

Pythagoras mendakwa bahawa jumlah adalah asas dunia setanding dengan unsur-unsur utama. Plato percaya bahawa jumlah link fenomena dan noumenon, membantu untuk tahu, untuk ditimbang dan untuk membuat kesimpulan. Aritmetik datang dari perkataan "arifmos" - nombor, titik permulaan dalam matematik. Ia adalah mungkin untuk menggambarkan apa-apa objek - dari rendah dengan epal ruang abstrak.

Keperluan sebagai faktor pembangunan

Pada peringkat awal pembangunan masyarakat keperluan rakyat dikekang oleh keperluan untuk menyimpan skor - .. Satu beg gandum, dua beg bijirin, dan lain-lain Untuk melakukan ini, ia nombor asli, set yang merupakan urutan terhingga integer positif N.

Kemudian, pembangunan matematik sebagai sains, ia adalah perlu dalam bidang tertentu integer Z - ia termasuk nilai-nilai negatif dan sifar. kehadirannya di peringkat domestik, ia telah menimbulkan oleh fakta bahawa perakaunan awal terpaksa menjadi seperti hutang dan kerugian rekod. Pada tahap yang saintifik, nombor negatif telah memungkinkan untuk menyelesaikan mudah persamaan linear. Antara lain, ia kini mungkin untuk imej sistem remeh menyelaras, iaitu. A. Terdapat titik rujukan.

Langkah seterusnya adalah keperluan untuk memasukkan nombor pecahan, kerana sains tidak berdiam diri, semakin banyak penemuan baru menuntut asas teori pertumbuhan push baru. Jadi ada satu bidang nombor nisbah Q.

Akhir sekali, tidak lagi memenuhi permintaan rasional, kerana semua penemuan baru memerlukan justifikasi. Terdapat satu bidang nombor nyata R, karya-karya hal tdk dibandingkan Euclid dalam kuantiti tertentu kerana tidak rasional mereka. Iaitu, ahli matematik Yunani purba pada kedudukan yang bukan sahaja bilangan sebagai sesuatu yang tetap, tetapi sebagai nilai abstrak yang dicirikan oleh nisbah magnitud tak selaras. Kerana kenyataan bahawa terdapat nombor nyata, "kita melihat cahaya" nilai-nilai seperti "pi" dan "e", tanpa yang matematik moden tidak mungkin berlaku.

Inovasi akhir adalah nombor kompleks C. Ia menjawab beberapa soalan dan menafikan postulat dimasukkan sebelum ini. Disebabkan perkembangan pesat hasil algebra telah diramalkan - dengan nombor nyata, keputusan banyak masalah tidak mungkin. Sebagai contoh, terima kasih kepada nombor kompleks menonjol teori tali dan huru-hara berkembang persamaan hidrodinamik.

Set Theory. cantor

Konsep infiniti sentiasa menimbulkan kontroversi, kerana ia adalah mustahil untuk membuktikan atau menyangkal. Dalam konteks matematik, yang dikendalikan postulat ketat disahkan, ia menunjukkan dirinya yang paling jelas, lebih bahawa aspek teologi masih ditimbang dalam bidang sains.

Walau bagaimanapun, melalui kerja-kerja ahli matematik Georg Cantor sepanjang masa jatuh ke tempatnya. Beliau membuktikan bahawa set tak terhingga terdapat satu set tak terhingga, dan bahawa bidang R adalah lebih besar daripada N padang, biarkan kedua-dua mereka dan tidak berkesudahan. Di pertengahan abad XIX, idea-idea beliau kepada umum dipanggil karut dan jenayah terhadap peraturan-peraturan yang tidak boleh berubah klasik, tetapi masa akan meletakkan segala-galanya di tempatnya.

Ciri-ciri asas bidang R

nombor yang sebenar bukan sahaja mempunyai ciri-ciri sama seperti podmozhestva bahawa mereka termasuk, tetapi ditambah dengan masshabnosti lain menurut unsur-unsur:

• Zero R. wujud dan tergolong dalam bidang c + = c 0 untuk sebarang c R.
• Zero wujud dan tergolong dalam bidang R. c x 0 = 0 bagi apa-apa c R.
• Nisbah c: d apabila d ≠ 0 wujud dan sah untuk sebarang c, d R.
• Field R diperintahkan, iaitu jika c ≤ d, d ≤ c, maka c = d bagi apa-apa c, d R.
• Selain dalam bidang R adalah kalis tukar tertib, iaitu c + d = d + c, untuk apa-apa c, d R.
• Pendaraban dalam bidang R adalah kalis tukar tertib, iaitu x c x d = d c untuk semua c, d R.
• Selain dalam bidang R adalah bersekutu iaitu (c + d) + f = c + (d + f) bagi apa-apa c, d, f R.
• Pendaraban dalam bidang R adalah bersekutu iaitu (c x d) x f = c x (d x f) bagi apa-apa c, d, f R.
• Untuk setiap nombor medan R bertentangan dengan di sana, seperti yang c + (-c) = 0, di mana c, -c dari R.
• Untuk setiap nombor medan R wujud songsangannya, seperti yang c x c ^-1 = 1 di mana c, c ^-1 R.
• Unit wujud dan tergolong dalam R, supaya c x 1 = c, untuk sebarang c R.
• Ia mempunyai pengagihan kuasa undang-undang, supaya c x (d + f) = c x d + c x f, bagi apa-apa c, d, f R.
• Bidang R adalah sifar tidak sama dengan perpaduan.
• Field R adalah kerja: jika c ≤ d, d ≤ f, kemudian c ≤ f bagi apa-apa c, d, f R.
• Dalam usaha R dan tambahan saling: jika c ≤ d, kemudian c + f ≤ d + f untuk semua c, d, f R.
• Dalam perintah itu R dan pendaraban berkaitan: jika 0 ≤ c, 0 ≤ d, kemudian 0 ≤ c x d bagi apa-apa c, d R.
• Sebagai nombor nyata negatif dan positif yang berterusan, iaitu, bagi apa-apa c, d R f, wujud dari R, yang c ≤ f ≤ d.

bidang modul R

Nombor nyata termasuk perkara yang sedemikian sebagai modul. Ditetapkan sebagai yang | f | bagi apa-apa f dalam R. | f | = F, jika 0 ≤ f dan | f | = -f, jika 0> f. Jika kita menganggap modul sebagai nilai geometri, ia adalah jauh - ia tidak penting, "lulus" anda sebagai sifar dalam negatif kepada positif atau ke hadapan.

Kompleks dan sebenar nombor. Apakah persamaan dan perbezaan?

Oleh dan jumlah yang besar, kompleks dan sebenar - mereka adalah satu dan yang sama, kecuali bahawa yang pertama menyertai unit khayalan i, persegi yang mana adalah sama dengan -1. Elements medan R dan C boleh diwakili oleh formula berikut:

• c = d + f x i, di mana d, f milik kepada bidang R, dan i - unit khayalan.

Untuk mendapatkan c R f dalam kes ini hanya dianggap sebagai sifar, iaitu, hanya ada bahagian nyata nombor. Kerana bidang nombor kompleks mempunyai ciri-ciri yang sama ditetapkan sebagai bidang sebenar, f x i = 0 jika f = 0.

Merujuk perbezaan praktikal, contohnya dalam bidang R persamaan kuadratik tidak boleh diselesaikan jika diskriminan adalah negatif, manakala kotak C tidak mengenakan had ini dengan memperkenalkan unit khayalan i.

keputusan

"Bata" aksiom dan postulat di mana untuk matematik asas, tidak berubah. Atas sebahagian daripada mereka kerana peningkatan maklumat dan pengenalan teori-teori baru diletakkan yang berikut "bata", yang pada masa akan datang boleh menjadi asas kepada langkah seterusnya. Sebagai contoh, nombor asli, walaupun pada hakikatnya mereka adalah subset bidang R sebenar, tidak hilang relevan. Ia adalah untuk mereka asas semua aritmetik asas, yang bermula dengan pengetahuan seorang lelaki keamanan.

Dari sudut praktikal, nombor nyata kelihatan seperti garis lurus. Ia adalah mungkin untuk memilih arah, untuk mengenal pasti asal-usul dan padang. Terus terdiri daripada bilangan tak terhingga mata, setiap yang sepadan dengan nombor nyata tunggal, tanpa mengira sama ada atau tidak rasional. Dari huraian ia adalah jelas bahawa kita bercakap mengenai konsep itu, yang matematik berdasarkan secara umum, dan analisis matematik khususnya.